Familia patrulaterelor
Aceeași figură poate aparține mai multor familii.
pătrat ⇒ dreptunghi ⇒ paralelogramClasa a VII-a · lumea peșterii
Patrulatere, cerc și asemănare
În Galeria formelor, fiecare placă păstrează o proprietate. Urmezi firul luminos și descoperi cum definițiile, formulele și demonstrațiile se leagă între ele.
Scopul tău: să recunoști figura, să alegi proprietatea potrivită și să justifici fiecare calcul.
Alegi cum continui
Coridorul de aprofundare
Cele două uși deschid camerele aprofundate ale Galeriei. Dacă vrei să revezi traseul triunghiurilor, folosești legăturile de după ele.
Fiecare ușă este o legătură. Legături înrudite
Reiei firul triunghiurilor.
Aceste trei noțiuni au intrări proprii pe Harta Peșterii. Le poți deschide și de aici atunci când ai nevoie de ele într-o problemă cu forme.
Traseul noțiunii
Galeria formelor
Placa gravată este un buton; poți apăsa și textul
Intri cu definițiile de bază
Paralelogramul
Laturile opuse merg în aceeași direcție.
A = b · hDreptunghiul
Patru unghiuri drepte ordonează întreaga figură.
A = L · l; d² = L² + l²Rombul
Patru laturi egale, două diagonale perpendiculare.
A = D · d / 2Pătratul
Dreptunghi și romb în aceeași figură.
A = a²; d = a√2Trapezul
Două laturi paralele păstrează aceeași înălțime.
A = (B + b) · h / 2Cercul și discul
Cercul este marginea; discul cuprinde și interiorul.
d = 2rLungimea și aria
Conturul folosește raza o dată; aria o folosește la pătrat.
L = 2πr; A = πr²Triunghiuri asemenea
Unghiurile se păstrează, laturile se schimbă în același raport.
AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′Raportul de asemănare
Lungimile cresc cu k, ariile cresc cu k².
P₂/P₁ = k; A₂/A₁ = k²Aceeași formă. Proprietăți legate.
Masa desenatorului
Desenul te orientează. Datele hotărăsc.
Citești, alegi, justifici.
Nu presupui nimic după aparență. Folosești marcajele, definițiile și proprietățile date, apoi verifici dacă rezultatul se potrivește figurii.
Citești marcajele, alegi măsura potrivită și păstrezi corespondența laturilor.
0 / 3 rezolvate
Fie ABCD un paralelogram, iar O punctul de intersecție a diagonalelor. Dacă AO = 7 cm, atunci OC este egal cu:
Privește marcajele egale de pe diagonala AC și amintește-ți proprietatea diagonalelor paralelogramului.
Rezolvare
Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc una pe cealaltă. Punctul O este deci mijlocul diagonalei AC, de unde AO = OC. Cum AO = 7 cm, rezultă OC = 7 cm.
Un cerc are diametrul de 12 cm. Lungimea cercului L și aria discului A sunt:
Calculează mai întâi raza r = d : 2, apoi aplică L = πd și A = πr².
Rezolvare
Diametrul este 12 cm, deci raza este r = 12 : 2 = 6 cm. Lungimea cercului este L = πd = 12π cm, iar aria discului este A = πr² = π · 6² = 36π cm².
Un triunghi cu laturile 6 cm, 8 cm și 10 cm este asemenea cu un triunghi a cărui latură cea mai mică are 9 cm. Latura cea mai mare a celui de-al doilea triunghi este:
Laturile cele mai mici corespund. Află raportul 9 : 6 și aplică-l laturii de 10 cm.
Rezolvare
Raportul de asemănare de la primul triunghi la al doilea este k = 9/6 = 3/2. Latura de 10 cm este cea mai mare și corespunde laturii căutate, deci aceasta măsoară 10 · 3/2 = 15 cm.
Transformi datele în mărimile cerute și folosești numai proprietățile care ajută.
0 / 3 rezolvate
Un trapez are baza mare de 14 cm, înălțimea de 6 cm și aria de 60 cm². Baza mică măsoară:
Înlocuiește datele în A = (B + b) · h/2 și rezolvă ecuația obținută.
Rezolvare
Notăm baza mică prin b. Din formula ariei rezultă 60 = (14 + b) · 6/2 = 3(14 + b). Împărțim la 3: 20 = 14 + b, deci b = 6 cm.
Diagonalele unui romb au lungimile de 10 cm și 24 cm. Perimetrul rombului este:
Diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Aplică Pitagora cu 5 cm și 12 cm.
Rezolvare
Diagonalele rombului se înjumătățesc și sunt perpendiculare. O latură este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele 5 cm și 12 cm: a² = 5² + 12² = 169, deci a = 13 cm. Perimetrul este 4a = 52 cm.
Într-un pătrat cu latura de 10 cm este înscris un cerc. Aria suprafeței aflate în interiorul pătratului și în exteriorul discului este:
Diametrul cercului înscris este 10 cm. Calculează separat aria pătratului și aria discului.
Rezolvare
Pătratul are aria 10² = 100 cm². Cercul înscris are diametrul 10 cm, deci raza 5 cm și aria discului π · 5² = 25π cm². Suprafața cerută este 100 − 25π cm².
Legi geometria de ecuații, măsurători indirecte și justificarea rapoartelor.
0 / 3 rezolvate
Un dreptunghi are lățimea x cm, lungimea x + 3 cm și perimetrul de 34 cm. Aria dreptunghiului este:
Scrie ecuația 2[x + (x + 3)] = 34, apoi calculează produsul laturilor.
Rezolvare
Din formula perimetrului obținem 2[x + (x + 3)] = 34, deci 4x + 6 = 34 și x = 7. Lățimea este 7 cm, lungimea este 10 cm, iar aria este 7 · 10 = 70 cm².
În același moment, un copil de 1,5 m are umbra de 1,2 m, iar umbra unui copac măsoară 8 m. Înălțimea copacului este:
Razele soarelui formează același unghi; scrie raportul înălțime/umbră pentru ambele obiecte.
Rezolvare
Triunghiurile formate de obiecte și umbre sunt asemenea prin criteriul UU. Raporturile corespunzătoare dau h/8 = 1,5/1,2. Prin urmare, h = 8 · 1,5/1,2 = 10 m.
Două triunghiuri asemenea au raportul perimetrelor 3:5. Care afirmație și justificare sunt corecte?
Raportul perimetrelor este același cu raportul laturilor. Pentru arii, ridică raportul la pătrat.
Rezolvare
La figuri asemenea, raportul perimetrelor este raportul de asemănare k. Aici k = 3/5. Raportul ariilor este k² = (3/5)² = 9/25, adică 9:25.
Triunghiul ABC are laturile AB = 9 cm, AC = 12 cm și BC = 15 cm. Punctul D aparține segmentului AB și AD = 6 cm. Paralela prin D la dreapta BC intersectează segmentul AC în punctul E.
- Arată că triunghiul ABC este dreptunghic în A și determină lungimile segmentelor AE și DE.
- Calculează aria patrulaterului DBCE și raportul dintre aria triunghiului ADE și aria patrulaterului DBCE.
Am nevoie de un indiciu
Verifică reciproca teoremei lui Pitagora. Apoi folosește DE ∥ BC pentru a demonstra că triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea.
O rezolvare completă posibilă
- Verificăm: AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² = BC².
- Prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC este dreptunghic în A.
- Deoarece DE ∥ BC, avem ∠ADE = ∠ABC și ∠AED = ∠ACB, deci triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea prin criteriul UU.
- Raportul de asemănare este AD/AB = 6/9 = 2/3.
- Din AE/AC = 2/3 rezultă AE = 12 · 2/3 = 8 cm.
- Din DE/BC = 2/3 rezultă DE = 15 · 2/3 = 10 cm.
- Aria triunghiului ABC este AB · AC/2 = 9 · 12/2 = 54 cm².
- Triunghiul ADE este dreptunghic în A, deci aria sa este AD · AE/2 = 6 · 8/2 = 24 cm².
- Patrulaterul DBCE ocupă partea rămasă: 54 − 24 = 30 cm².
- Raportul cerut este A(ADE)/A(DBCE) = 24/30 = 4/5. Răspuns: AE = 8 cm, DE = 10 cm, aria patrulaterului este 30 cm², iar raportul este 4:5.
Fir roșu · proporționalitatea
Aceeași idee, o lume mai departe
Asemănarea păstrează un raport.
În două figuri asemenea, toate lungimile corespunzătoare se înmulțesc cu același raport k. Dacă numești x lungimea de plecare și y lungimea corespunzătoare, relația se poate scrie y = kx — forma pe care o vei întâlni în lumea cerului.
- Clasa a V-a · Muntele Parte din întreg fracție și procent
- Clasa a VI-a · Marea Același ritm raport și proporție
- Clasa a VII-a · Peștera Aceeași formă raport de asemănare
- Clasa a VIII-a · Cerul Regulă și grafic funcția y = ax
Întrebare-punte
O figură este mărită cu raportul k = 3/2. Ce lungime va corespunde unei laturi de 8 cm?
Verifică legătura
Notăm x = 8 cm și calculăm y = kx = 3/2 · 8 = 12 cm. Raportul lungimilor rămâne y/x = 12/8 = 3/2.