Atelierul rezolvării

Dosarul 01 · Aritmetică și proporții

Distanța de pe hartă

Problema de rezolvat

Pe o hartă la scara 1 : 25 000, distanța dintre un refugiu și un lac este de 7,2 cm. Care este distanța reală, exprimată în kilometri?

Nu iese încă?

Deschide câte o întrebare.

M Mara Ce știu și ce trebuie să aflu?

Știi scara 1 : 25 000 și lungimea de 7,2 cm măsurată pe hartă. Trebuie să afli distanța reală și să o exprimi în kilometri.

1 cm pe hartă corespunde la 25 000 cm în realitate.
Răspunsul nu poate rămâne în centimetri.

L Lia Ce idee aleg și de ce?

Folosești sensul scării. Înmulțești lungimea de pe hartă cu 25 000, apoi transformi rezultatul din centimetri în metri și kilometri.

distanța reală = distanța de pe hartă · numitorul scării

L Luca Cum construiesc rezolvarea?

7,2 · 25 000 = 180 000 cm
180 000 cm = 1 800 m
1 800 m = 1,8 km

R Radu Rezultatul are sens?

Distanța reală trebuie să fie mult mai mare decât cei 7,2 cm de pe hartă. Verifici în sens invers: 1,8 km = 180 000 cm, iar 180 000 : 25 000 = 7,2 cm.

Răspuns final Distanța reală dintre refugiu și lac este de 1,8 km.

Compară cu o rezolvare completă

Scara 1 : 25 000 arată că unui centimetru de pe hartă îi corespund 25 000 cm în realitate.

Distanța reală este 7,2 · 25 000 = 180 000 cm.

Transformăm: 180 000 cm = 1 800 m = 1,8 km.

Răspuns: distanța reală dintre refugiu și lac este de 1,8 km.

Dosarul 02 · Algebră

Biletele de la planetariu

Problema de rezolvat

La un spectacol de planetariu s-au vândut 22 de bilete. Un bilet pentru adult costă 20 de lei, iar un bilet pentru elev costă 10 lei. În total s-au încasat 340 de lei. Câte bilete din fiecare fel s-au vândut?

Nu iese încă?

Deschide câte o întrebare.

M Mara Ce știu și ce trebuie să aflu?

Știi numărul total de bilete, prețul fiecărui tip și suma încasată. Trebuie să afli două numere: biletele pentru adulți și biletele pentru elevi.

Cele două numere au suma 22.
Prețurile formează a doua condiție, exprimată în lei.

L Lia Ce idee aleg și de ce?

Ai două necunoscute și două condiții, deci un sistem de două ecuații este un model potrivit. Notezi cu x numărul biletelor pentru adulți și cu y numărul biletelor pentru elevi.

x + y = 22; 20x + 10y = 340

L Luca Cum construiesc rezolvarea?

Din x + y = 22 obții y = 22 − x.
Înlocuiești: 20x + 10(22 − x) = 340.
20x + 220 − 10x = 340, deci 10x = 120 și x = 12.
y = 22 − 12 = 10.

R Radu Rezultatul are sens?

Verifici separat numărul biletelor și suma: 12 + 10 = 22, iar 12 · 20 + 10 · 10 = 240 + 100 = 340.

Răspuns final S-au vândut 12 bilete pentru adulți și 10 bilete pentru elevi.

Compară cu o rezolvare completă

Notăm cu x numărul biletelor pentru adulți și cu y numărul biletelor pentru elevi.

Obținem sistemul: x + y = 22 și 20x + 10y = 340.

Din prima ecuație, y = 22 − x. Înlocuind în a doua ecuație: 20x + 10(22 − x) = 340.

Rezultă 20x + 220 − 10x = 340, deci 10x = 120 și x = 12. Atunci y = 22 − 12 = 10.

Răspuns: s-au vândut 12 bilete pentru adulți și 10 bilete pentru elevi.

Dosarul 03 · Geometrie

Cablul din sala de lucru

Problema de rezolvat

Podeaua dreptunghiulară a unei săli are lungimea de 8 m și lățimea de 6 m. Un cablu trebuie întins pe diagonală, între două colțuri opuse. Pentru conectare mai este necesar câte 1 m de cablu la fiecare capăt. Care este lungimea minimă a cablului?

Nu iese încă?

Deschide câte o întrebare.

M Mara Ce știu și ce trebuie să aflu?

Știi dimensiunile dreptunghiului, 8 m și 6 m. Cablul urmează diagonala, apoi se adaugă încă 1 m la fiecare dintre cele două capete.

Diagonala nu este una dintre laturile dreptunghiului.
Cei doi metri pentru conectare se adaugă după calculul diagonalei.

L Lia Ce idee aleg și de ce?

Diagonala dreptunghiului formează, împreună cu lungimea și lățimea, un triunghi dreptunghic. Aplici teorema lui Pitagora.

d² = 8² + 6²

L Luca Cum construiesc rezolvarea?

d² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
d = √100 = 10 m
L = 10 m + 1 m + 1 m = 12 m

R Radu Rezultatul are sens?

Diagonala de 10 m este mai lungă decât fiecare latură și mai scurtă decât suma lor, 14 m. Apoi adaugi exact 2 m pentru cele două capete.

Răspuns final Lungimea minimă a cablului este de 12 m.

Compară cu o rezolvare completă

Notăm cu d lungimea diagonalei podelei. Diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de 8 m și 6 m.

Prin teorema lui Pitagora: d² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, de unde d = 10 m.

Pentru conectare se adaugă câte 1 m la fiecare capăt: 10 + 1 + 1 = 12 m.

Răspuns: lungimea minimă a cablului este de 12 m.

Dosarul 07 · Mărimi și operații cu numere zecimale

Pașii amestecați

Problema de rezolvat

Pentru o expoziție se construiesc 6 rame identice. Pentru fiecare ramă sunt necesari 1,25 m de baghetă. Bagheta se vinde în bare de câte 2,5 m, iar barele pot fi folosite complet, fără pierderi. Câte bare trebuie cumpărate?

Dosar cu patru opriri

Rezolvarea se construiește pe masa ta.

Încheie fiecare oprire pentru a o deschide pe următoarea. Poți citi oricând rezolvarea completă de la final.

Prima oprire · Mara

Care sunt datele și care este cerința?

Lucrezi aici

Alege fișa care păstrează toate datele necesare și spune exact ce trebuie aflat.
A doua oprire · Lia

Ce plan leagă datele de cerință?

Urmează

Alege planul în care fiecare rezultat pregătește pasul următor.
A treia oprire · Luca

În ce ordine scrii pașii?

Urmează
Folosește săgețile pentru a muta fiecare cartonaș. Primul calcul trebuie să folosească numai date din enunț.
1. Împart lungimea totală la lungimea unei bare: 7,5 : 2,5 = 3.
2. Răspuns: trebuie cumpărate 3 bare de baghetă.
3. Calculez lungimea necesară pentru cele 6 rame: 6 · 1,25 = 7,5 m.
A patra oprire · Radu

Ce verificare confirmă rezultatul?

Urmează

Alege verificarea care reface aceeași lungime pornind din două direcții.

Compară cu o rezolvare completă

Datele sunt: 6 rame, 1,25 m de baghetă pentru fiecare ramă și 2,5 m de baghetă într-o bară. Trebuie să aflăm numărul barelor.

Lungimea totală necesară este 6 · 1,25 = 7,5 m.

Numărul barelor este 7,5 : 2,5 = 3.

Verificare: 3 · 2,5 = 7,5 m, aceeași lungime ca 6 · 1,25 = 7,5 m.

Răspuns: trebuie cumpărate 3 bare de baghetă.

Dosarul 17 · Operații și ecuații

Drumul înapoi

Problema de rezolvat

Un număr natural este înmulțit cu 3. Din rezultat se scade 8, iar numărul obținut se împarte la 2. Rezultatul final este 17. Determină numărul inițial.

Planșa cu două sensuri

Același traseu, privit din ambele capete

Sus vezi operațiile din enunț. Jos vei construi drumul înapoi, câte un pas odată.

Înainte

start ? × 3 pas 1 ? − 8 pas 2 ? : 2 final 17

Înapoi

pornire 17 ? descoperi ? ? descoperi ? ? cauți ?

Prima etapă · alegi sensul

De unde începi și ce desfaci mai întâi?

Alege varianta care folosește imediat informația cunoscută.

Lucrezi aici

Alege punctul de pornire și primul pas.

A doua etapă · desfaci pas cu pas

Operația inversă și ordinea inversă

Fiecare rezultat descoperit deschide următorul cartonaș.

În așteptare

01

Pasul 1

Desfaci ultima operație

Blocat

Rezultatul a fost împărțit la 2. Ce faci cu 17?

02

Pasul 2

Desfaci pasul din mijloc

Blocat

Din valoarea anterioară s-a scăzut 8. Ce faci cu 34?

03

Pasul 3

Desfaci primul pas

Blocat

Numărul inițial a fost înmulțit cu 3. Ce faci cu 42?

A treia etapă · verifici înainte

Care calcul închide traseul?

Acum pornești de la numărul găsit și refaci exact operațiile din enunț.

În așteptare

Alege verificarea completă.

Privește traseul din patru unghiuri

Deschide câte o întrebare.

M Mara Ce cunosc și ce trebuie să aflu?

Cunoști rezultatul final, 17, și cele trei operații efectuate. Trebuie să afli numărul de la care a pornit traseul.

Valoarea cunoscută este la capătul din dreapta.
Valoarea necunoscută este la începutul traseului.

L Lia În ce direcție aleg să lucrez?

Pornești de la 17 și mergi înapoi. Desfaci mai întâi ultima operație, apoi penultima și, la final, prima operație.

ultima operație făcută = prima operație desfăcută

L Luca Cum desfac fiecare pas?

Împărțirea la 2 se desface prin înmulțirea cu 2: 17 · 2 = 34.
Scăderea lui 8 se desface prin adunarea lui 8: 34 + 8 = 42.
Înmulțirea cu 3 se desface prin împărțirea la 3: 42 : 3 = 14.

R Radu Cum verific drumul găsit?

Pornești de la 14 și mergi înainte, exact ca în enunț: înmulțești cu 3, scazi 8 și împarți la 2. Dacă ajungi la 17, drumul se închide.

Răspuns final Numărul inițial este 14.

Compară cu o rezolvare completă

Notăm numărul inițial cu x. Traseul înainte se poate scrie (3x − 8) : 2 = 17.

Lucrăm înapoi, pornind de la rezultatul cunoscut. Desfacem mai întâi împărțirea la 2: 17 · 2 = 34.

Desfacem scăderea lui 8: 34 + 8 = 42.

Desfacem înmulțirea cu 3: 42 : 3 = 14.

Verificare: 14 · 3 = 42, 42 − 8 = 34 și 34 : 2 = 17.

Răspuns: numărul inițial este 14.

Atelierul rezolvării

Unde apare greșeala?

Care drum este corect?

Alege cheia

Alege cheia

Alege cheia

Mesajul A

Mesajul B

Mesajul A

Mesajul B

Ce poți afirma?

O valoare aleasă, un singur candidat