5·8 cinciopt

Ai ales o noțiune de pe hartă

Înapoi la harta claselor

Clasa a VII-a · lumea peșterii

Ecuații și sisteme

În Galeria echilibrului, fiecare poartă se deschide numai dacă păstrezi egalitatea. Mai jos, drumul se desparte în două tuneluri: substituție și reducere.

Scopul tău: urmărești expresia 2x + 3 în ecuații tot mai variate și descoperi ce faci când în jurul ei apar termeni, paranteze, fracții sau o a doua ecuație.

Traseul noțiunii

Aceeași expresie, câte un context nou

Poarta de piatră este un buton; poți apăsa și textul

Intri cu ideea de egalitate

De aici, sistemul se desparte în două căi

Două condiții. O singură pereche.

Camera de antrenament

Aceeași egalitate, alegeri tot mai bune.

Alegi, deschizi, rezolvi.

Porțile ți-au arătat regulile. Aici alegi singur drumul potrivit și verifici dacă soluția are sens.

Păstrezi egalitatea, desfaci corect parantezele și elimini numitorii.

0 / 3 rezolvate

Soluția ecuației 5x − 7 = 2x + 14 este:

Jurnal de explorare · poarta 1 din 10

Pornim de aici: ce este o ecuație?

O ecuație este o egalitate în care apare un număr necunoscut. Expresia din stânga se numește membrul stâng, iar cea din dreapta membrul drept. Rezolvi ecuația când afli ce număr trebuie pus în locul lui x pentru ca egalitatea să fie adevărată.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
De aici pornim 2x + 3 = 17
Regula galeriei Cei doi membri trebuie să aibă aceeași valoare.
  1. Scazi 3 din ambii membri și obții 2x = 14.
  2. Împarți ambii membri la 2 și obții x = 7.
  3. Verifici în ecuația de la început: 2 · 7 + 3 = 17.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația 3x + 4 = 19.

Jurnal de explorare · poarta 2 din 10

Dar dacă x apare în ambele părți?

Expresia 2x + 3 poate apărea într-o ecuație în care x se află și în celălalt membru. Ca să afli necunoscuta, elimini mai întâi termenul cu x dintr-unul dintre membri, făcând aceeași operație în ambele părți.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... 2x + 3 = 3x − 5
Regula galeriei Ce adaugi sau scazi într-un membru, adaugi sau scazi și în celălalt.
  1. Scazi 2x din ambii membri: 2x + 3 − 2x = 3x − 5 − 2x.
  2. Reduci termenii și obții 3 = x − 5.
  3. Aduni 5 în ambii membri și găsești x = 8.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația 4x + 1 = 2x + 15.

Jurnal de explorare · poarta 3 din 10

Dar dacă mai apar și alți termeni?

Expresia 2x + 3 poate fi urmată de alți termeni. Înainte să rezolvi ecuația, îi grupezi pe cei asemenea: termenii cu x între ei și numerele între ele.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... 2x + 3 − x − 1 = 6
Regula galeriei Reduci termenii cu x între ei și numerele fără x între ele.
  1. Reduci termenii cu x: 2x − x = x.
  2. Reduci numerele: 3 − 1 = 2, deci ecuația devine x + 2 = 6.
  3. Scazi 2 din ambii membri și găsești x = 4.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația 6x − 2x + 5 = 21.

Jurnal de explorare · poarta 4 din 10

Dar dacă expresia apare într-o paranteză?

Expresia 2x + 3 poate apărea între paranteze. Numărul 2 din fața parantezei înmulțește fiecare termen din interior: atât 2x, cât și 3.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... 2(2x + 3) − 4 = 18
Regula galeriei Factorul din fața parantezei înmulțește fiecare termen din interior.
  1. Desfaci paranteza: 2(2x + 3) devine 4x + 6.
  2. Reduci numerele și obții 4x + 2 = 18.
  3. Scazi 2, apoi împarți la 4 și găsești x = 4.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația 3(x − 2) + 4 = 13.

Jurnal de explorare · poarta 5 din 10

Dar dacă minusul stă în fața parantezei?

Un minus în fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen atunci când desfaci paranteza. Aici poți evita graba tratând mai întâi expresia 2x + 3 ca pe un singur bloc.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... 20 − (2x + 3) = 7
Regula galeriei −(a + b) = −a − b, iar −(a − b) = −a + b.
  1. Scazi 20 din ambii membri: −(2x + 3) = −13.
  2. Înmulțești ambii membri cu −1 și obții 2x + 3 = 13.
  3. Scazi 3, apoi împarți la 2 și găsești x = 5.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația 15 − (3x − 2) = 2.

Jurnal de explorare · poarta 6 din 10

Dar dacă expresia apare într-o fracție?

Expresia 2x + 3 poate apărea la numărătorul unei fracții. Elimini mai întâi termenul aflat în afara fracției, apoi înmulțești ambii membri cu numitorul.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... (2x + 3) / 3 − 2 = 5
Regula galeriei Pentru a elimina numitorii, înmulțești fiecare membru cu același număr nenul.
  1. Aduni 2 în ambii membri și obții (2x + 3) / 3 = 7.
  2. Înmulțești ambii membri cu 3 și obții 2x + 3 = 21.
  3. Scazi 3, apoi împarți la 2 și găsești x = 9.

Încearcă tu

Rezolvă ecuația (3x + 1) / 2 = 8.

Jurnal de explorare · poarta 7 din 10

Dar dacă apar două necunoscute?

Până acum căutai un singur număr. Dar dacă apar două necunoscute și două condiții? Atunci ai nevoie de două ecuații cu aceleași necunoscute: împreună, ele formează un sistem. Soluția este perechea (x, y) care face adevărate ambele ecuații. Sistemul nostru pornește chiar de la expresia 2x + 3.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Dar dacă... y = 2x + 3; x + y = 18
Regula galeriei Soluția unui sistem trebuie să verifice fiecare ecuație din sistem.
  1. Prima ecuație spune că y are valoarea expresiei 2x + 3.
  2. A doua ecuație spune că suma dintre x și y este 18.
  3. Cele două tuneluri de mai jos arată două metode pentru a afla perechea comună.

Încearcă tu

Care pereche verifică sistemul y = x + 2 și y = 7?

Jurnal de explorare · poarta 8 din 10

Ce faci atunci? Substituția

Prin substituție, înlocuiești o necunoscută cu valoarea sau expresia ei din cealaltă ecuație. Aici prima ecuație ne spune că y = 2x + 3, așa că punem expresia 2x + 3 în locul lui y în a doua ecuație.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Ce faci atunci? x + (2x + 3) = 18
Regula galeriei Înlocuiești aceeași necunoscută peste tot cu aceeași valoare sau expresie.
  1. Înlocuiești y cu 2x + 3 în ecuația x + y = 18.
  2. Obții x + (2x + 3) = 18, apoi 3x + 3 = 18.
  3. Găsești x = 5 și apoi y = 2 · 5 + 3 = 13, deci perechea este (5, 13).

Încearcă tu

Rezolvă prin substituție sistemul x + y = 13 și y = x + 3.

Jurnal de explorare · poarta 9 din 10

Ce faci atunci? Reducerea

Prin reducere, scrii ecuațiile astfel încât coeficienții unei necunoscute să fie opuși. Prima ecuație y = 2x + 3 poate fi scrisă 2x − y = −3. Când o aduni cu x + y = 18, termenii −y și +y dispar.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Ce faci atunci? 2x − y = −3; x + y = 18 → 3x = 15
Regula galeriei La reducere, aduni sau scazi ecuațiile membru cu membru.
  1. Rescrii prima ecuație ca 2x − y = −3.
  2. Așezi sub ea ecuația x + y = 18 și aduni membru cu membru.
  3. −y și +y dispar, rămâne 3x = 15, deci x = 5 și y = 13.

Încearcă tu

Rezolvă prin reducere sistemul x + y = 11 și x − y = 3.

Jurnal de explorare · poarta 10 din 10

Verifici soluția comună

Substituția și reducerea au dus la aceeași pereche: x = 5 și y = 13. Verificarea se face în cele două ecuații de la care ai pornit, calculând fiecare relație separat.

Expresia-reper a traseului 2x + 3
Ce faci atunci? (x, y) = (5, 13) ✓
Regula galeriei Soluția sistemului este intersecția celor două condiții.
  1. Prima ecuație: pentru x = 5 și y = 13, membrul stâng este y = 13, iar membrul drept este 2 · 5 + 3 = 13.
  2. A doua ecuație: x + y = 18 devine 5 + 13 = 18.
  3. Ambele ecuații sunt adevărate, deci (5, 13) este soluția sistemului.

Încearcă tu

Care pereche verifică sistemul 2x + y = 12 și x − y = 3?