Pasul constant
Șirul 5, 8, 11, … continuă după regula «adună 3». Care este următorul termen?
Privește toate urmele înainte să alegi.
11 + 3 = 14. Regula este precizată, deci următorul termen este determinat.Tipar · poziție · regulă
Atelierul urmelor
O regulă lasă urme: obiecte care cresc, numere așezate în ordine, diferențe, puncte într-un tabel. În Atelier pornești de la urme, reconstruiești regula și verifici dacă ea explică fiecare pas.
Urmărește prima regulăurme observate4 → 7 → 10 → 13de fiecare dată +3
01 · Masa urmelor
Aceeași întrebare, trei feluri de regulă.
Alege o urmă și mută lupa de la o poziție la alta. Termenul, diferența și explicația se schimbă împreună.
4 7 10 13 16 19 22 25
+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3
La poziția aleasăa₁ = 4
Regula care explică toate urmeleaₙ = 4 + (n − 1) · 3 = 3n + 1
02 · Presa de șiruri
Alege începutul și pasul. Formula apare din structură.
Pentru un pas constant r, termenul de pe poziția n este primul termen plus cele n − 1 salturi făcute până acolo.
n = 1 4 start
n = 2 7 +3
n = 3 10 +3
n = 4 13 +3
n = 5 16 +3
n = 6 19 +3
Regula explicităaₙ = 4 + (n − 1) · 3a₆ = 4 + 5 · 3 = 19
De ce n − 1? La primul termen nu ai făcut niciun salt. Ca să ajungi la termenul al șaselea, faci exact cinci salturi.
03 · Bancul figurilor
Desenul crește. Formula numără ce se păstrează și ce se adaugă.
Primul pătrat folosește 4 bețe. Fiecare pătrat nou împarte o latură cu precedentul, deci adaugă numai 3 bețe.
pătrate3
bețe10
calcul4 + 2 · 3 = 10
direct pentru figura n4 + (n − 1) · 3 = 3n + 1
04 · Planșa de control
Obiectele, șirul, tabelul și graficul spun aceeași regulă.
În tabel, n este poziția sau numărul figurii. Valoarea 3n + 1 devine coordonata verticală a punctului de pe grafic.
| n | 3n + 1 | punct |
|---|---|---|
| 1 | 4 | (1, 4) |
| 2 | 7 | (2, 7) |
| 3 | 10 | (3, 10) |
| 4 | 13 | (4, 13) |
| 5 | 16 | (5, 16) |
Punctele sunt coliniare deoarece valoarea crește cu același pas 3.
Urme care revin
Când regula se repetă, restul găsește poziția.
Într-un ciclu de lungime 3, pozițiile cu același rest la împărțirea prin 3 primesc același semn.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2026 = 675 · 3 + 1→
rest 1 aceeași culoare ca poziția 1
Oprire de rigoare
Câteva urme nu obligă o singură regulă.
Termenii 2, 4, 8 pot continua cu 16 dacă dublezi, dar pot continua cu 14 dacă adaugi succesiv 2, 4, 6. Fără o regulă enunțată sau un context care o determină, spui „o continuare posibilă”, nu „sigur”.
05 · Proba atelierului
Nouă urme, de la observare la justificare.
Nu primești punctaj. Alegi, citești explicația și revii la reprezentarea care te ajută.
Urmezi recursiv
Primul termen este 7, iar fiecare termen se obține adăugând 4 la precedentul. Care este al treilea termen?
Privește toate urmele înainte să alegi.
a₂ = 7 + 4 = 11, apoi a₃ = 11 + 4 = 15.Folosești poziția
Pentru regula aₙ = 2n + 3, cât este a₅?
Privește toate urmele înainte să alegi.
Înlocuiești n cu 5: a₅ = 2 · 5 + 3 = 13.Pătratele alăturate
Figura n, formată din n pătrate alăturate, folosește 3n + 1 bețe. Câte bețe are figura 8?
Privește toate urmele înainte să alegi.
3 · 8 + 1 = 25. Primul pătrat cere 4 bețe, iar fiecare pătrat nou mai adaugă 3.Alegi formula
Care formulă produce termenii 4, 7, 10, 13, … pentru n = 1, 2, 3, 4, …?
Privește toate urmele înainte să alegi.
Pentru n = 1 obții 4, iar creșterea cu 3 este dată de coeficientul lui n.Verifici pe grafic
Care punct aparține graficului regulii y = 3x + 1?
Privește toate urmele înainte să alegi.
Pentru x = 4, y = 3 · 4 + 1 = 13, deci punctul este (4, 13).Urma pătratelor
Șirul 1, 4, 9, 16, … este dat de regula aₙ = n². Care este următorul termen?
Privește toate urmele înainte să alegi.
Al cincilea termen este 5² = 25. Diferențele 3, 5, 7, 9 confirmă aceeași regulă.Poziția într-un ciclu
Culorile roșu, albastru, verde se repetă în această ordine. Ce culoare are poziția 100?
Privește toate urmele înainte să alegi.
100 = 33 · 3 + 1. Restul 1 trimite la prima culoare din ciclu: roșu.Nu ghicești regula
Ai doar termenii 2, 4, 8, fără altă informație. Este sigur că următorul termen este 16?
Privește toate urmele înainte să alegi.
Dublarea dă 16, dar alte reguli pot începe cu aceiași trei termeni. O continuare devine obligatorie numai după ce regula este precizată.Problemă originală · în stilul Evaluării Naționale
Mozaicul de pe chei
În figura n a unui mozaic sunt 3n + 1 plăci violete și 2n plăci albe.
- Arată că figura 6 conține în total 31 de plăci.
- Determină numărul figurii care conține în total 76 de plăci.
- Calculează numărul plăcilor violete din această figură.
Deschide rezolvarea completă
Totalul figurii n: (3n + 1) + 2n = 5n + 1.
Pentru n = 6: 5 · 6 + 1 = 31 de plăci.
Figura cu 76 de plăci: 5n + 1 = 76, deci 5n = 75 și n = 15.
Plăci violete: 3 · 15 + 1 = 46.
Control: plăcile albe sunt 2 · 15 = 30, iar 46 + 30 = 76.