Ciclul ultimei cifre
↻ 2486
Poziția exponentului1 = 4 · 0 + 1restul 1 indică primul termen
Ultima cifră a lui21 este 2
Rest · ciclu · predicție
Ceasornicăria resturilor
Pe un cadran, numerele mari nu dispar: se întorc în aceleași poziții. Când recunoști ciclul, poți afla o ultimă cifră sau o zi îndepărtată fără să efectuezi calculul uriaș.
Principiul ceasornicărieiNu urmărești cât de mare devine numărul. Urmărești unde revine.
Mecanismul de bază
Restul are o limită precisă.
Împărțirea lui a la ma = m · q + r0 ≤ r < m
23 = 5 · 4 + 3câtul este 4restul este 3
→23 ≡ 3 (mod 5)o scriere scurtă„23 și 3 au același rest la 5”
01 · Cadranul resturilor
Aduni pași. Poziția păstrează restul.
Pornești de la 0 pe un cadran cu cinci poziții. Fiecare tură completă adaugă 5 și te aduce la același rest.
Împărțirea cu rest0 = 5 · 0 + 0
Poziția de pe cadran este restul 0.
Alege un salt și urmărește limba cadranului.
02 · Angrenajul ultimei cifre
Puterile cresc. Ultimele cifre se repetă.
Pentru ultima cifră privești numai restul la 10. Alege baza și exponentul; cadranul găsește poziția din ciclul scurt.
03 · Calendarul circular
Șapte zile formează o tură completă.
Presupunem că astăzi este luni. Numărul de săptămâni complete nu schimbă ziua; restul la 7 spune câte poziții avansezi.
LMaMiJVSD
Astăzi este luni.
04 · Antrenament progresiv
Împarți numărul mare la lungimea ciclului.
0 din 10 repere verificate
Restul împărțirii lui 23 la 5 este:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Care egalitate descrie corect împărțirea lui 47 la 6?
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Dacă acum este ora 9, peste 8 ore va fi ora:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Dacă astăzi este luni, peste 17 zile va fi:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Ultima cifră a lui 2⁵ este:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Ultima cifră a lui 3¹² este:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Un număr lasă restul 2 la împărțirea cu 5, iar altul restul 4. Suma lor lasă restul:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Două numere lasă resturile 3 și 4 la împărțirea cu 5. Produsul lor lasă restul:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Două semnale se repetă la 6 și la 8 minute. Dacă pornesc împreună, după câte minute coincid din nou?
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Ultima cifră a numărului 7²⁰²⁶ + 3²⁰²⁵ este:
Găsește mai întâi modulul sau lungimea ciclului.
Problemă mixtă · în stil de examen
Codul ultimei cifre
Un mecanism folosește drept cod ultima cifră a numărului N = 7²⁰²⁶ + 3²⁰²⁵.
- Scrie ciclul ultimelor cifre pentru puterile lui 7.
- Determină ultima cifră a lui 7²⁰²⁶ și a lui 3²⁰²⁵.
- Află codul mecanismului.
Compară cu o rezolvare completă
- Puterile lui 7 au ciclul 7, 9, 3, 1, de lungime 4.
- 2026 = 4 · 506 + 2, deci 7²⁰²⁶ se termină în al doilea termen: 9.
- Puterile lui 3 au ciclul 3, 9, 7, 1. Cum 2025 = 4 · 506 + 1, 3²⁰²⁵ se termină în 3.
- N se termină ca 9 + 3 = 12, deci codul este 2.
Unde continui?