Aceeași greutate · aceeași valoare

Balanța necunoscutelor

O ecuație nu este un șir de semne pe care le muți. Este o egalitate pe care o păstrezi până când necunoscuta rămâne singură.

Așază o valoare pe balanță ↓

De la căsuță la literă

Necunoscuta este un număr pe care încă nu-l știi.

Litera nu schimbă întrebarea. Ea ne ajută să vorbim despre numărul căutat și să păstrăm la vedere relațiile din problemă.

1 · Începi cu o căsuță □ + 7 = 12

Ce număr adunat cu 7 dă 12?

2 · Numești numărul x + 7 = 12

x joacă rolul căsuței.

3 · Verifici valoarea 5 + 7 = 12

Egalitatea adevărată confirmă soluția.

Laborator interactiv

Când se echilibrează 2x + 3 cu 11?

Schimbă valoarea lui x. Balanța compară valorile celor doi membri, nu felul în care arată expresiile.

2 · 0 + 3 =? 11

Alege o valoare pentru x x = 0

Membrul stâng3

Membrul drept11

Membrul stâng este mai mic. Încearcă o valoare mai mare pentru x.

Operații inverse

Ca să afli începutul, parcurgi povestea înapoi.

Drumul înainte

x× 33x+ 526

Înmulțirea cu 3 și adunarea lui 5 au construit rezultatul.

Drumul înapoi

26− 521: 37

Scazi 5, apoi împarți la 3. Ai desfăcut operațiile în ordine inversă.

Control3 · 7 + 5 = 26 Înlocuiești necunoscuta în relația inițială, nu doar în ultimul rând.

Poveste → relație → ecuație

Alegi întâi ce reprezintă necunoscuta.

O literă fără explicație este doar un semn. Scrie „x = …”, apoi traduce fiecare relație din enunț.

Fișa 1

Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 3 și adun 5. Obțin 26.

Alegerea: x = numărul la care m-am gândit
Ecuația: 3x + 5 = 26
Controlul: 3 · 7 + 5 = 26

Fișa 2

După ce cheltuiește 18 lei, Mara mai are 47 de lei.

Alegerea: x = suma avută la început
Ecuația: x − 18 = 47
Controlul: 65 − 18 = 47

Fișa 3

Cinci caiete identice costă împreună 40 de lei.

Alegerea: x = prețul unui caiet
Ecuația: 5x = 40
Controlul: 5 · 8 = 40

Două stații mai dificile

Paranteza și fracția nu schimbă regula echilibrului.

Stația A · desfac paranteza

3(x − 2) + 5 = 20

3x − 6 + 5 = 20Aplici distributivitatea.
3x − 1 = 20Reduci termenii asemenea.
3x = 21Aduni 1 în ambii membri.
x = 7Împarți ambii membri la 3.

Control: 3 · (7 − 2) + 5 = 15 + 5 = 20.

Stația B · eliberez fracția

(x − 2)/3 = 5

x − 2 = 15Înmulțești ambii membri cu 3.
x = 17Aduni 2 în ambii membri.

Control: (17 − 2) : 3 = 15 : 3 = 5.

Privești ce rămâne

Nu orice ecuație are exact o soluție.

După ce reduci termenii, ultimul rând îți spune câte valori păstrează egalitatea adevărată.

O singură soluție

x + 3 = 8 x = 5

Numai valoarea 5 face egalitatea adevărată.

∞

O infinitate de soluții

2(x + 1) = 2x + 2 2x + 2 = 2x + 2

Egalitatea este adevărată pentru orice valoare a lui x.

Nicio soluție

2(x + 1) = 2x + 5 2 = 5

Am ajuns la o afirmație falsă, indiferent de valoarea lui x.

Două condiții · două necunoscute

Soluția sistemului este întâlnirea celor două trasee.

Două bilete de adult și unul de copil costă 28 lei. Un bilet de adult și două de copil costă 26 lei.

a = prețul unui bilet de adult

c = prețul unui bilet de copil

2a + c = 28 a + 2c = 26

Din prima ecuație: c = 28 − 2a.
Înlocuiești în a doua: a + 2(28 − 2a) = 26.
Obții −3a = −30, deci a = 10.
Apoi c = 28 − 2 · 10 = 8.

Control: 2 · 10 + 8 = 28 și 10 + 2 · 8 = 26.

Fiecare ecuație descrie o dreaptă. Perechea care le verifică pe amândouă este punctul lor de intersecție.

Antrenament progresiv

De la căsuță la două necunoscute.

0 din 9 verificate

Încălzire Numărul ascuns

Ce număr trebuie pus în căsuță? □ + 8 = 13

Încălzire Patru pachete egale

Soluția ecuației 4x = 28 este:

Fixez echilibrul Două operații

Rezolvă ecuația 3x + 5 = 20.

Fixez echilibrul Deschid paranteza

Soluția ecuației 2(x + 3) = 18 este:

Fac legături Necunoscuta într-o fracție

Rezolvă ecuația x/4 − 2 = 3.

Fac legături Termenul necunoscut al proporției

Dacă x/15 = 4/5, atunci x este egal cu:

Construiesc modelul Povestea devine ecuație

Trei bilete identice și o taxă de 6 lei costă 33 de lei. Cât costă un bilet?

Privesc structura Câte soluții?

Ecuația 5(x − 2) = 5x − 10 are:

Întâlnesc două trasee Două necunoscute

Perechea care verifică sistemul x + y = 11 și x − y = 3 este:

Problemă originală · în stilul Evaluării Naționale

Cele 24 de bilete

Pentru o vizită la muzeu, un grup cumpără 24 de bilete: bilete pentru adulți la 13 lei și bilete pentru copii la 8 lei. Costul total este de 237 de lei.

Arată că nu pot fi 12 bilete pentru adulți.
Notează cu x numărul biletelor pentru adulți și scrie ecuația problemei.
Determină numărul biletelor de fiecare fel.
Verifică rezultatul printr-o metodă aritmetică.

Deschide rezolvarea completă

Pentru 12 adulți ar rămâne 12 copii, iar costul ar fi 12 · 13 + 12 · 8 = 252 lei, nu 237 lei.

Dacă x este numărul adulților, atunci 24 − x este numărul copiilor. Ecuația este 13x + 8(24 − x) = 237.

13x + 192 − 8x = 237, deci 5x = 45 și x = 9. Sunt 9 bilete pentru adulți și 24 − 9 = 15 bilete pentru copii.

Pornim de la 24 de bilete pentru copii: 24 · 8 = 192 lei. Un bilet de adult adaugă 13 − 8 = 5 lei. Diferența este 237 − 192 = 45 lei, deci 45 : 5 = 9 adulți. Control final: 9 · 13 + 15 · 8 = 117 + 120 = 237.

Înainte să închizi caietul

Patru întrebări care prind o greșeală.

1
Am spus ce reprezintă x?Scriu unitatea sau rolul necunoscutei.
2
Am păstrat egalitatea?Operația apare în ambii membri.
3
Soluția respectă situația?Un număr de bilete nu poate fi negativ sau fracționar.
4
Am verificat în relația inițială?Înlocuiesc valoarea și compar membrii.

Balanța leagă patru lumi