Expresie, ecuație sau inecuație?
Semnul dintre părți îți arată ce ai în față și ce ai de făcut.
2x + 3 | 2x + 3 = 11 | 2x + 3 < 11Clasa a VIII-a · lumea cerului
Calcul algebric și inecuații
Din cer vezi ce părea separat: termenii, parantezele, formulele și soluțiile fac parte din aceeași hartă. Aprinzi stelele și observi cum fiecare transformare se leagă de următoarea.
Scopul tău: să recunoști ce fel de scriere ai în față, să alegi transformarea potrivită, să urmărești semnele și să scrii exact mulțimea soluțiilor.
Harta noțiunii
Privește legăturile dintre constelații
Steaua este un buton; poți apăsa și textul
Constelația expresiilor
Constelația inecuațiilor
Ridici privirea de la termenii asemenea
Reduci termenii asemenea
Aduni coeficienții și păstrezi partea literală.
4x − 3 + 2x + 5 = 6x + 2Desfaci parantezele
Înmulțești fiecare termen din paranteză.
3(2x − 5) = 6x − 15Păzești minusul
Minusul din fața parantezei schimbă toate semnele din interior.
7x − (2x − 3) = 5x + 3Scoți factorul comun
Cauți partea care apare în fiecare termen.
6x² − 9x = 3x(2x − 3)Recunoști un pătrat
Termenul din mijloc îți confirmă formula.
(x − 4)² = x² − 8x + 16Descompui diferența de pătrate
Două pătrate despărțite prin minus devin un produs.
x² − 25 = (x − 5)(x + 5)Izolezi necunoscuta
Faci aceeași transformare în ambele părți.
3x + 5 ≤ 17 → x ≤ 4Întorci sensul la număr negativ
Înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ inversează ordinea.
−2x > 6 → x < −3Observatorul soluțiilor
Legi transformările și scrii răspunsul ca interval.
3(2x − 1) − (x + 4) ≤ 8 → x ∈ (−∞, 3]Ai văzut conexiunile. Cerul rămâne deschis.
După steaua 9 · pui regula la încercare
Poți găsi semnul greșit într-o rezolvare care pare corectă?
În dosarul „Semnul se întoarce”, localizezi greșeala, repari sensul inegalității, reprezinți soluția pe axă și o verifici cu două valori.
Deschide direct dosarulRecapitulare scurtă · trei repere
Semnul, axa, verificarea
Nu repeți toată lecția. Verifici cele trei alegeri care pot schimba răspunsul.
0 din 3 repere clare
Traseul este închis.
← Înapoi la harta claselor Ai legat regula de reprezentare și de verificare. Poți reveni la Cer oricând sau poți alege o altă noțiune.
Caietul observatorului
Privește expresia înainte să pornești calculul.
Nu calcula mai mult decât este nevoie.
Alegi între dezvoltare, factorizare și transformări echivalente. O metodă bună face vizibile semnele, condițiile și concluzia.
Urmărești semnele, recunoști o formulă și verifici o descompunere.
0 / 3 rezolvate
Valoarea expresiei 2 − [3 − 2(1 − 4)] este:
Lucrează din interior spre exterior și scrie explicit produsul 2 · (−3).
Rezolvare
Calculăm mai întâi 1 − 4 = −3. Atunci 3 − 2(1 − 4) = 3 − 2 · (−3) = 3 + 6 = 9. Expresia inițială devine 2 − 9 = −7.
Dezvoltarea corectă a expresiei (2x − 3)² este:
Folosește (a − b)² = a² − 2ab + b², cu a = 2x și b = 3.
Rezolvare
Aplicăm formula pătratului diferenței: (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Verificăm că primul și ultimul termen sunt pătrate, iar cel din mijloc este dublul produsului, cu semn minus.
Descompunerea completă a expresiei 6x² − 24 este:
Scoate mai întâi factorul comun 6; abia apoi privește ce rămâne.
Rezolvare
Scoatem factorul comun: 6x² − 24 = 6(x² − 4). Observăm diferența de pătrate x² − 2² și obținem 6(x − 2)(x + 2). Desfacerea parantezelor reface 6x² − 24.
Cauți structura care scurtează calculul și păstrezi condițiile transformării.
0 / 3 rezolvate
Pentru x = 2026, valoarea expresiei (x + 5)² − (x − 5)² este:
Privește întreaga expresie ca pe a² − b², cu a = x + 5 și b = x − 5.
Rezolvare
Aplicăm diferența de pătrate: (x + 5)² − (x − 5)² = [(x + 5) − (x − 5)]·[(x + 5) + (x − 5)] = 10 · 2x = 20x. Pentru x = 2026 obținem 20 · 2026 = 40 520.
Pentru x ≠ 4, expresia (x² − 16)/(x − 4) este egală cu:
Descompune numărătorul ca diferență de pătrate și păstrează condiția x ≠ 4.
Rezolvare
Pentru x ≠ 4, avem (x² − 16)/(x − 4) = [(x − 4)(x + 4)]/(x − 4) = x + 4. Condiția rămâne necesară: expresia inițială nu este definită pentru x = 4, chiar dacă forma simplificată x + 4 ar avea sens acolo.
Mulțimea soluțiilor inecuației 4 − 3(2x − 1) ≥ 13 este:
Desfă paranteza, redu termenii, apoi observă semnul coeficientului lui x.
Rezolvare
Desfacem paranteza: 4 − 6x + 3 ≥ 13, adică 7 − 6x ≥ 13. Scădem 7 și obținem −6x ≥ 6. Împărțim la −6 și inversăm sensul: x ≤ −1. Mulțimea soluțiilor este (−∞, −1].
Traduci o situație în expresie ori inecuație și justifici o proprietate generală.
0 / 3 rezolvate
Un pătrat are latura x + 3 cm, iar altul are latura x cm, unde x > 0. Diferența ariilor este:
Scrie diferența (x + 3)² − x² și simplific-o.
Rezolvare
Diferența ariilor este (x + 3)² − x². Putem dezvolta: x² + 6x + 9 − x² = 6x + 9 cm². Echivalent, diferența de pătrate dă 3(2x + 3) = 6x + 9 cm².
Abonamentul A costă 15 + 8n lei, iar B costă 39 + 5n lei pentru n ședințe. A nu este mai scump decât B dacă:
Tradu «A nu este mai scump decât B» prin 15 + 8n ≤ 39 + 5n.
Rezolvare
Rezolvăm 15 + 8n ≤ 39 + 5n. Scădem 5n și 15 din ambele membre: 3n ≤ 24, de unde n ≤ 8. Deoarece n numără ședințe, în context folosim valori naturale; la n = 8 costurile sunt egale.
Pentru orice număr întreg n, numărul n² + n este par. Care justificare este corectă?
Scoate factorul comun n și privește cei doi factori obținuți.
Rezolvare
Factorizăm n² + n = n(n + 1). Numerele n și n + 1 sunt consecutive, deci unul dintre ele este par. Produsul are astfel un factor par și este par pentru orice n întreg, inclusiv pentru zero sau pentru n negativ.
O ramă pătrată are latura exterioară de x + 4 cm și deschiderea interioară pătrată cu latura x cm, unde x este număr natural nenul. Rama are aceeași lățime pe toate cele patru laturi.
- Arată că aria ramei este 8(x + 2) cm² și calculează această arie pentru x = 6.
- Din motive de utilizare, aria ramei trebuie să fie de cel puțin 80 cm², iar perimetrul exterior de cel mult 72 cm. Determină valorile posibile ale lui x.
Am nevoie de un indiciu
Aria ramei este diferența dintre ariile celor două pătrate. Pentru a doua cerință, transformă fiecare condiție într-o inecuație și intersectează soluțiile.
O rezolvare completă posibilă
- Aria pătratului exterior este (x + 4)² cm², iar aria deschiderii este x² cm².
- Aria ramei este A(x) = (x + 4)² − x² = x² + 8x + 16 − x² = 8x + 16 = 8(x + 2) cm².
- Pentru x = 6, A(6) = 8(6 + 2) = 8 · 8 = 64 cm².
- Condiția de arie devine 8(x + 2) ≥ 80. Împărțim la 8 și obținem x + 2 ≥ 10, deci x ≥ 8.
- Perimetrul exterior este P(x) = 4(x + 4) cm. Condiția P(x) ≤ 72 dă 4(x + 4) ≤ 72.
- Împărțim la 4: x + 4 ≤ 18, deci x ≤ 14.
- Ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, așadar 8 ≤ x ≤ 14.
- Cum x este număr natural, valorile posibile sunt x ∈ {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
- Verificare la capete: pentru x = 8 aria este 80 cm², iar pentru x = 14 perimetrul exterior este 72 cm; ambele valori-limită sunt admise.