O funcție este o regulă
Fiecărei valori din domeniu îi corespunde o singură valoare a funcției.
x → 2x − 3 → f(x)Clasa a VIII-a · lumea cerului
Funcții și grafice
În observator, aceeași funcție apare în mai multe forme. Formula arată regula, tabelul organizează valorile, punctele le așază în sistemul de axe, iar graficul arată legătura dintre ele.
Scopul tău: urmărești funcția f(x) = 2x − 3 și descoperi cum se leagă regula, domeniul, tabelul, coordonatele și dreapta.
Harta noțiunii
Observatorul funcțiilor
Steaua-reper este un buton; poți apăsa și textul
Jurnalul observatorului 0 din 10 idei clarificate
Poți deschide orice stea. Firele arată doar o ordine utilă.
Constelația regulii
Constelația coordonatelor
Constelația graficului
Domeniul: valorile permise
Domeniul îți spune ce valori ai voie să pui în locul lui x.
D = {−1, 0, 1, 2}Citești notația f(x)
f(x) este rezultatul regulii pentru valoarea aleasă a lui x.
f(2) = 2 · 2 − 3 = 1Construiești tabelul
Tabelul păstrează împreună fiecare valoare x și valoarea f(x).
x: −1, 0, 1, 2→ f(x): −5, −3, −1, 1Tabelul devine puncte
Fiecare coloană se scrie ca perechea ordonată (x, f(x)).
(−1, −5), (0, −3), (1, −1), (2, 1)Așezi punctele pe axe
Te deplasezi mai întâi pe Ox, apoi paralel cu Oy.
(2, 1): 2 pe Ox, apoi 1 pe OyDomeniul schimbă graficul
Uneori vezi puncte separate, alteori un segment sau o dreaptă.
mulțime finită → puncte · interval → segmentTrasezi dreapta
Pentru f(x) = ax + b, două puncte distincte determină dreapta.
A(0, −3), B(2, 1) → dreapta ABCitești a, b și axele
Coeficienții arată direcția dreptei și punctul de pe Oy.
a = 2, b = −3· Oy: (0, −3)· Ox: (3/2, 0)Constelația completă
Formula, tabelul, punctele și graficul descriu aceeași funcție.
P(3, 3): 3 = 2 · 3 − 3 ✓Ai legat reprezentările. Funcția este clară.
Platforma observatorului
Aceeași regulă, patru feluri de a o vedea.
Calculezi, traduci, compari.
Stelele ți-au arătat reprezentările. Aici treci singur de la formulă la puncte, axe și situații reale.
Calculezi o valoare, verifici un punct și citești corect domeniul.
0 / 3 rezolvate
Se consideră funcția f(x) = 2x + 5. Valoarea f(−3) este:
Înlocuiește fiecare apariție a lui x cu (−3).
Rezolvare
Scriem f(−3) = 2 · (−3) + 5. Efectuăm mai întâi înmulțirea: f(−3) = −6 + 5 = −1.
Care dintre punctele următoare aparține graficului funcției g(x) = −x + 4?
Înlocuiește prima coordonată în formulă și compară rezultatul cu a doua.
Rezolvare
Pentru un punct P(a, b) de pe grafic trebuie să avem b = g(a). Verificăm C(2, 2): g(2) = −2 + 4 = 2. Egalitatea este adevărată, deci C aparține graficului.
Funcția h(x) = x − 1 are domeniul D = {−2, 0, 3}. Care afirmație este adevărată?
Graficul conține numai punctele pentru care prima coordonată aparține lui D.
Rezolvare
Domeniul are valorile −2, 0 și 3, deci graficul are exact punctele (−2, −3), (0, −1) și (3, 2). Punctele rămân separate, iar afirmația corectă este că (3, 2) aparține graficului.
Treci de la valori la formulă și folosești axele ca informație, nu ca decor.
0 / 3 rezolvate
Funcția f(x) = ax + b verifică f(0) = −2 și f(3) = 4. Formula funcției este:
În formula ax + b, valoarea f(0) este chiar b.
Rezolvare
Din f(0) = a · 0 + b = −2 obținem b = −2. Apoi f(3) = 3a − 2 = 4, deci 3a = 6 și a = 2. Prin urmare, f(x) = 2x − 2.
Graficul funcției f(x) = −3x + 6 intersectează axa Ox în punctul:
Orice punct de pe axa Ox are ordonata egală cu 0.
Rezolvare
La intersecția cu Ox, ordonata este 0. Rezolvăm −3x + 6 = 0, de unde −3x = −6 și x = 2. Punctul căutat este (2, 0).
Pentru f(x) = 2x − 1 și g(x) = x + 3, relația f(x) > g(x) este adevărată dacă:
Compară formulele: 2x − 1 > x + 3.
Rezolvare
Rezolvăm 2x − 1 > x + 3. Scădem x din ambii membri și adunăm 1: x > 4. La x = 4 valorile sunt egale, iar pentru x > 4 graficul lui f se află deasupra graficului lui g.
Folosești funcția pentru costuri, geometrie și întâlnirea a două reguli.
0 / 3 rezolvate
Costul a n bilete este C(n) = 8n + 12 lei, unde 12 lei reprezintă taxa de rezervare. Costul pentru 7 bilete este:
Înlocuiește n cu 7; termenul 12 rămâne neschimbat.
Rezolvare
Aplicăm regula pentru n = 7: C(7) = 8 · 7 + 12 = 56 + 12 = 68 lei. Taxa de rezervare este fixă și se adaugă o singură dată.
Un dreptunghi are laturile de x cm și (x + 3) cm. Funcția care exprimă perimetrul său este:
Folosește P = 2(L + l).
Rezolvare
Perimetrul este P(x) = 2[x + (x + 3)] = 2(2x + 3) = 4x + 6. Pentru x > 0, formula asociază fiecărei lățimi perimetrul dreptunghiului.
Graficele funcțiilor f(x) = 3x − 2 și g(x) = x + 6 se intersectează în punctul:
La intersecție, cele două funcții au aceeași valoare.
Rezolvare
Egalăm formulele: 3x − 2 = x + 6. Rezultă 2x = 8, deci x = 4. Calculăm f(4) = 12 − 2 = 10. Punctul de intersecție este (4, 10).
Două servicii de închiriere a bicicletelor calculează costul, în lei, pentru x ore, unde x ∈ [0, 10]. Serviciul A percepe o taxă fixă de 10 lei și 4 lei pentru fiecare oră, iar serviciul B percepe o taxă fixă de 22 de lei și 2 lei pentru fiecare oră. Graficele costurilor sunt reprezentate în figura alăturată.
- Scrie funcțiile A(x) și B(x) și calculează costul fiecărui serviciu pentru 5 ore.
- Determină după câte ore costurile sunt egale și precizează, justificând, serviciul mai avantajos pentru 8 ore.
Am nevoie de un indiciu
Taxa fixă este valoarea funcției pentru x = 0. Pentru costuri egale, rezolvă ecuația A(x) = B(x).
O rezolvare completă posibilă
- Serviciul A are taxa fixă 10 lei și costul variabil 4 lei pe oră, deci A(x) = 4x + 10.
- Serviciul B are taxa fixă 22 de lei și costul variabil 2 lei pe oră, deci B(x) = 2x + 22.
- Pentru 5 ore: A(5) = 4 · 5 + 10 = 30 de lei și B(5) = 2 · 5 + 22 = 32 de lei.
- Costurile sunt egale când 4x + 10 = 2x + 22. Rezultă 2x = 12, deci x = 6.
- Valoarea comună este A(6) = B(6) = 34 de lei; grafic, punctul de intersecție este P(6, 34).
- Pentru 8 ore: A(8) = 4 · 8 + 10 = 42 de lei și B(8) = 2 · 8 + 22 = 38 de lei.
- Răspuns: după 6 ore costurile sunt egale, iar pentru 8 ore serviciul B este mai avantajos cu 4 lei.
Fir roșu · proporționalitatea
Aceeași idee, o lume mai departe
Funcția y = ax este o proporționalitate directă.
Într-o proporționalitate directă, raportul dintre valorile corespunzătoare este constant. Acest număr constant este coeficientul a din formula y = ax. Ai ajuns astfel de la o parte din întreg la o regulă care poate fi reprezentată printr-un grafic.
- Clasa a V-a · Muntele Parte din întreg fracție și procent
- Clasa a VI-a · Marea Același ritm raport și proporție
- Clasa a VII-a · Peștera Aceeași formă raport de asemănare
- Clasa a VIII-a · Cerul Regulă și grafic funcția y = ax
Întrebare-punte
Pentru y = 2,5x, calculează y când x = 4 și apoi raportul y/x. Ce punct confirmă trecerea graficului prin origine?
Verifică legătura
y = 2,5 · 4 = 10, iar y/x = 10/4 = 2,5, exact coeficientul din formulă. Pentru x = 0 obținem y = 0, așadar punctul O(0, 0) aparține graficului.