Divizor sau multiplu?
Împărțirea exactă le leagă.
24 : 6 = 4, rest 0Clasa a VI-a · lumea mării
Divizibilitate și mulțimi
Navighezi printre numere și legi ideile între ele. Fiecare geamandură îți arată un reper scurt; apasă pe ea când vrei explicația și exemplul complet.
Traseul noțiunii
Urmează curentul dintre idei
Geamandura este un buton; poți apăsa și textul
Pornești de la împărțirea exactă
Privește ultima cifră
Așa verifici rapid 2, 5 și 10.
2 → cifră pară · 5 → 0 sau 5 · 10 → 0Adună cifrele
Suma lor verifică 3 și 9.
2 + 3 + 4 + 9 = 18Prim sau compus?
Caută divizori în afară de 1 și el însuși.
29 este prim · 30 = 2 · 3 · 5Descompune numerele
Aceasta este harta pentru următoarele calcule.
72 = 2³ · 3² | 60 = 2² · 3 · 5C.m.m.d.c.
Factorii comuni, la puterea cea mai mică.
c.m.m.d.c.(72, 60) = 2² · 3 = 12C.m.m.m.c.
Toți factorii, la puterea cea mai mare.
c.m.m.m.c.(72, 60) = 2³ · 3² · 5 = 360O descompunere, trei răspunsuri
Folosește aceeași hartă, nu relua calculul.
c.m.m.d.c. · c.m.m.m.c. = a · bMulțimile numerelor
Fiecare mulțime nouă o cuprinde pe cea dinainte.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝLeagă și verifică
Explică alegerea, apoi pune ancora.
comun + minim | tot + maximAi legat reperele. Drumul continuă.
Jurnalul navigatorului
Întrebarea alege instrumentul.
Verifici, alegi, explici.
Nu alegi c.m.m.d.c. sau c.m.m.m.c. după numerele din enunț. Mai întâi hotărăști dacă împarți în grupe sau cauți o reîntâlnire.
Verifici împărțirea exactă, recunoști numerele prime și citești o descompunere.
0 / 3 rezolvate
Numărul 4 950 este divizibil cu toate numerele din mulțimea:
Privește ultima cifră pentru 2, 5 și 10; adună cifrele pentru 3 și 9.
Rezolvare
Numărul se termină în 0, deci este divizibil cu 2, 5 și 10. Suma cifrelor este 4 + 9 + 5 + 0 = 18, număr divizibil cu 3 și cu 9. Răspunsul corect este {2, 3, 5, 9, 10}.
Care dintre numerele următoare este număr prim?
Aplică mai întâi criteriile de divizibilitate. Nu uita statutul special al numărului 1.
Rezolvare
1 nu este nici prim, nici compus. Numerele 39 și 51 sunt divizibile cu 3. Numărul 29 nu este divizibil cu 2, 3 sau 5; acești divizori primi sunt suficienți deoarece 5 < √29 < 6. Așadar 29 este prim.
Dacă 72 = 2³ · 3², atunci numărul divizorilor naturali ai lui 72 este:
Un divizor are forma 2ᵃ · 3ᵇ, unde 0 ≤ a ≤ 3 și 0 ≤ b ≤ 2.
Rezolvare
Pentru factorul 2 sunt 3 + 1 = 4 alegeri ale exponentului, iar pentru factorul 3 sunt 2 + 1 = 3 alegeri. Alegerile sunt independente, deci numărul divizorilor este (3 + 1)(2 + 1) = 12.
Hotărăști dacă păstrezi comunul, construiești primul multiplu sau simplifici.
0 / 3 rezolvate
Cel mai mare divizor comun al numerelor 84 și 126 este:
Descompune ambele numere și păstrează numai factorii comuni, la exponentul mai mic.
Rezolvare
Avem 84 = 2² · 3 · 7 și 126 = 2 · 3² · 7. Factorii comuni sunt 2, 3 și 7. Alegem exponenții minimi: c.m.m.d.c.(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42.
Două lumini se aprind la fiecare 12 secunde, respectiv la fiecare 18 secunde. Dacă se aprind acum împreună, după câte secunde se vor aprinde din nou împreună?
Cauți primul moment care este multiplu atât de 12, cât și de 18.
Rezolvare
Trebuie să calculăm c.m.m.m.c.(12, 18). Din 12 = 2² · 3 și 18 = 2 · 3² rezultă c.m.m.m.c. = 2² · 3² = 36. Luminile se reaprind împreună după 36 de secunde.
Forma ireductibilă a fracției 84/126 este:
Împarte numărătorul și numitorul prin cel mai mare divizor comun al lor.
Rezolvare
c.m.m.d.c.(84, 126) = 42. Împărțim ambii termeni ai fracției prin 42: 84/126 = (84 : 42)/(126 : 42) = 2/3. Cum 2 și 3 sunt prime între ele, fracția este ireductibilă.
Transformi enunțul în grupări, descrii mulțimi și impui condiții divizorilor.
0 / 3 rezolvate
Din 96 de scoici albe și 72 de pietricele albastre se formează un număr maxim de truse identice, fără să rămână obiecte. Câte truse se obțin și ce conține fiecare?
Numărul truselor trebuie să fie cel mai mare număr care divide exact 96 și 72.
Rezolvare
Căutăm numărul maxim de grupări identice, deci calculăm c.m.m.d.c.(96, 72) = 24. Fiecare trusă primește 96 : 24 = 4 scoici și 72 : 24 = 3 pietricele.
Mulțimea A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3} este egală cu:
Pornește de la −2, inclus, și scrie întregii în ordine până înainte de 3.
Rezolvare
Condiția −2 ≤ x îl include pe −2, iar condiția x < 3 îl exclude pe 3. Numerele întregi dintre aceste limite sunt −2, −1, 0, 1 și 2. Așadar A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
Fie n = 2³ · 3² · 5. Câți divizori naturali ai lui n sunt multipli de 10?
Un multiplu de 10 trebuie să conțină cel puțin un factor 2 și factorul 5.
Rezolvare
Orice divizor are forma 2ᵃ · 3ᵇ · 5ᶜ. Pentru a fi multiplu de 10, avem a ∈ {1, 2, 3}, b ∈ {0, 1, 2} și c = 1. Numărul alegerilor este 3 · 3 · 1 = 9.
Pentru o regată, organizatorii au 84 de fanioane coral și 126 de fanioane turcoaz. Ei vor să formeze un număr maxim de truse identice, folosind toate fanioanele. La ora 10:00:00, două faruri emit simultan un semnal; primul repetă semnalul la fiecare 12 secunde, iar al doilea la fiecare 18 secunde.
- Determină numărul maxim de truse și conținutul fiecărei truse.
- Determină ora primei reîntâlniri a semnalelor și numărul reîntâlnirilor din primele 3 minute după ora 10:00:00, fără a număra semnalul inițial.
Am nevoie de un indiciu
Pentru truse cauți cel mai mare număr de grupări care divide ambele stocuri. Pentru semnale cauți primul număr pozitiv care este multiplu al ambelor perioade.
O rezolvare completă posibilă
- Numărul truselor trebuie să dividă exact 84 și 126 și să fie maxim; calculăm c.m.m.d.c.(84, 126).
- 84 = 2² · 3 · 7 și 126 = 2 · 3² · 7, deci c.m.m.d.c.(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42.
- Se formează 42 de truse. Fiecare conține 84 : 42 = 2 fanioane coral și 126 : 42 = 3 fanioane turcoaz.
- Pentru reîntâlnirea semnalelor calculăm c.m.m.m.c.(12, 18), deoarece timpul trebuie să fie multiplu al ambelor perioade.
- 12 = 2² · 3 și 18 = 2 · 3², deci c.m.m.m.c.(12, 18) = 2² · 3² = 36 de secunde.
- Prima reîntâlnire are loc la ora 10:00:36.
- Trei minute înseamnă 180 de secunde. Momentele comune pozitive sunt 36, 72, 108, 144 și 180 de secunde.
- Așadar, fără semnalul inițial, farurile se întâlnesc de 180 : 36 = 5 ori în primele 3 minute.
- Răspuns: 42 de truse, fiecare cu 2 fanioane coral și 3 turcoaz; prima reîntâlnire este la 10:00:36, iar în 3 minute sunt 5 reîntâlniri.
Unde mai întâlnești această idee?
Când grupezi, compari sau cauți un ritm
Divizibilitatea apare când împarți obiecte în grupe egale sau când urmărești evenimente care se repetă. Mulțimile te ajută să sortezi informații în informatică, în științe și în situațiile din jurul tău.