5·8 cinciopt

Ai ales o noțiune de pe hartă

Înapoi la harta claselor

Clasa a VII-a · lumea peșterii

Radicali și numere reale

În peșteră nu vezi totul dintr-o privire. Urmărești filonul luminos, descoperi ce ascunde fiecare radical și vezi cum se așază numerele reale.

Scopul tău: să recunoști forma utilă a unui număr și să alegi calculul care îl face mai simplu.

Traseul noțiunii

Urmează filonul dintre idei

Cristalul este un buton; poți apăsa și textul

Intri cu harta numerelor

Ai luminat ideile. Explorarea continuă.

Masa de lucru a exploratorului

Din forma ascunsă, spre o alegere sigură.

Recunoști, transformi, justifici.

Cristalele ți-au luminat regulile. Aici alegi singur forma care face calculul sau legătura geometrică mai clară.

Recunoști tipul numărului, îl încadrezi și aduci radicalul la forma simplă.

0 / 3 rezolvate

Care dintre numerele următoare este irațional?

Jurnal de explorare · cristalul 1 din 10

Harta numerelor

Numerele reale reunesc numerele raționale și numerele iraționale. Harta mulțimilor te ajută să spui precis ce fel de număr ai, nu doar să îi calculezi valoarea.

Ce luminează acest cristal? ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  1. ℕ conține numerele naturale, iar ℤ adaugă numerele întregi negative.
  2. ℚ conține numerele care pot fi scrise ca raport a/b, cu a și b întregi și b diferit de 0.
  3. ℝ adaugă numerelor raționale și numerele iraționale, precum √2 sau π.

Încearcă tu

Care dintre numerele următoare este irațional?

Jurnal de explorare · cristalul 2 din 10

Ce înseamnă √a?

Simbolul √a indică rădăcina pătrată principală: numărul nenegativ care, ridicat la pătrat, dă a. În mulțimea numerelor reale, expresia are sens numai pentru a ≥ 0.

Ce luminează acest cristal? √49 = 7, pentru că 7² = 49
  1. Verifică dacă numărul de sub radical este nenegativ.
  2. Întreabă-te ce număr ridicat la pătrat produce valoarea dată.
  3. Alege valoarea nenegativă: radicalul principal nu poartă semnul ±.

Încearcă tu

Care este valoarea lui √81?

Jurnal de explorare · cristalul 3 din 10

Peretele pătratelor

Pătratele cunoscute sunt reperele care te ajută să recunoști un pătrat perfect, să simplifici un radical și să aproximezi unul care nu se extrage exact. Le explorăm în trei niveluri.

Ce luminează acest cristal? 0² = 0 ··· 15² = 225
1
Nivelul 1

Repere de cunoscut

Începe cu pătratele până la 10², apoi extinde șirul până la 15². Cu cât le recunoști mai repede, cu atât radicalii devin mai ușor de citit.

0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225
Regula Construiești fiecare pătrat din pătratul perfect precedent.

Adaugi pe rând numerele impare 1, 3, 5, 7, 9…

0 de aici pornești 0 + 1 = 1 1 + 3 = 4 4 + 5 = 9 9 + 7 = 16 16 + 9 = 25
2
Nivelul 2

Cum recunoști un pătrat perfect?

Compară numărul cu două pătrate consecutive. Dacă este chiar unul dintre repere, este pătrat perfect. Dacă rămâne între ele, nu este.

Este pătrat perfect 144 = 12²

Nu este pătrat perfect 144 < 150 < 169

În plus, afli imediat că 12 < √150 < 13.

3
Nivelul 3

Metoda generală: factorii în perechi

Descompune numărul în factori primi și grupează factorii egali câte doi. Dacă fiecare factor își găsește perechea, numărul este pătrat perfect.

Toți au pereche 144 = (2 · 2) · (2 · 2) · (3 · 3) Da, 144 este pătrat perfect.

Un factor rămâne singur 72 = (2 · 2) · 2 · (3 · 3) Nu, 72 nu este pătrat perfect.

Încearcă tu

Care dintre aceste numere este pătrat perfect?

Jurnal de explorare · cristalul 4 din 10

Scoți factorii la lumină

Scoaterea factorilor de sub radical schimbă forma, nu valoarea numărului. Alegi un factor care este pătrat perfect și îi calculezi radicalul.

Ce luminează acest cristal? √108 = √(36 · 3) = 6√3
Regula lanternei Caută pătratul perfect. Scoate-l. Abia apoi calculează.
  1. Descompune numărul astfel încât unul dintre factori să fie pătrat perfect.
  2. Folosește √(a · b) = √a · √b, pentru a ≥ 0 și b ≥ 0.
  3. Calculează radicalul pătratului perfect și păstrează celălalt factor sub radical.

Încearcă tu

Care este forma simplificată a lui √75?

Jurnal de explorare · cristalul 5 din 10

Introduci factorul sub radical

Introducerea factorului sub radical este transformarea inversă scoaterii. Pentru un factor nenegativ, îl ridici la pătrat și îl înmulțești cu numărul aflat deja sub radical.

Ce luminează acest cristal? 3√5 = √(3² · 5) = √45
  1. Verifică semnul factorului din fața radicalului.
  2. Ridică factorul nenegativ la pătrat.
  3. Înmulțește pătratul obținut cu numărul de sub radical.

Încearcă tu

Cu ce radical este egal 4√3?

Jurnal de explorare · cristalul 6 din 10

Aduci radicalii la aceeași formă

Poți aduna sau scădea radicali asemenea, adică radicali care au același număr sub semnul radical după simplificare. Lucrezi cu coeficienții lor, așa cum lucrezi cu termenii asemenea.

Ce luminează acest cristal? √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
  1. Simplifică separat fiecare radical.
  2. Verifică dacă partea radicală a devenit aceeași.
  3. Adună sau scade coeficienții și păstrează radicalul comun.

Încearcă tu

Calculează √8 + √18.

Jurnal de explorare · cristalul 7 din 10

Înmulțești și împarți radicali

Pentru numere nenegative, produsul radicalilor poate fi scris ca un singur radical. La împărțire, numitorul trebuie să fie strict pozitiv.

Ce luminează acest cristal? √6 · √24 = √144 = 12
  1. Înmulțește separat coeficienții aflați în fața radicalilor.
  2. Folosește √a · √b = √(a · b), pentru a ≥ 0 și b ≥ 0.
  3. Simplifică rezultatul și verifică dacă mai există pătrate perfecte ascunse.

Încearcă tu

Care este valoarea produsului (2√3) · (3√3)?

Jurnal de explorare · cristalul 8 din 10

Eliberezi numitorul

Raționalizarea mută radicalul din numitor prin înmulțirea fracției cu o formă a lui 1. Valoarea rămâne aceeași, dar forma devine mai ușor de folosit.

Ce luminează acest cristal? 6/√3 = 6√3/3 = 2√3
  1. Înmulțește și numărătorul, și numitorul cu radicalul din numitor.
  2. Calculează produsul √a · √a = a.
  3. Simplifică fracția obținută.

Încearcă tu

Care este forma raționalizată a lui 4/√2?

Jurnal de explorare · cristalul 9 din 10

Capcana modulului

Formula corectă este √(a²) = |a|. Modulul păstrează numărul dacă este nenegativ și îi schimbă semnul dacă este negativ.

Ce luminează acest cristal? √((-5)²) = |−5| = 5
  1. Observă că a² este întotdeauna nenegativ.
  2. Radicalul principal produce tot un rezultat nenegativ.
  3. Scrie |a|, apoi folosește semnul valorii concrete a lui a.

Încearcă tu

Dacă x = −7, care este valoarea lui √(x²)?

Jurnal de explorare · cristalul 10 din 10

Camera cristalului

Ai ajuns în camera finală când poți decide singur ce trebuie simplificat, ce radicali sunt asemenea și când este utilă raționalizarea.

Ce luminează acest cristal? √75 − √12 + 6/√3 = 5√3
  1. Simplifică fiecare radical și raționalizează fracția separat.
  2. Rescrie expresia cu radicali asemenea: 5√3 − 2√3 + 2√3.
  3. Calculează coeficienții și verifică dacă rezultatul mai poate fi simplificat.

Încearcă tu

Calculează √48 − √12 + 6/√3.