Unde ajunge?
Mediana
În mijlocul laturii opuse.
Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Date D ∈ [BC] și BD = DC ⇒ Concluzie [AD] este mediană
Clasa a VII-a · lumea peșterii
Liniile importante din triunghi
Patru linii pot porni din aceeași figură, dar răspund la întrebări diferite: mijloc?, 90°?, unghiuri egale? sau distanțe egale?
Nu le recunoști după cum arată. Le recunoști după datele care le definesc.
Mai întâi, definițiile
Aceeași figură. Patru întrebări diferite.
Marcajele din desene reprezintă exact datele scrise lângă ele. Nicio egalitate și nicio perpendicularitate nu sunt presupuse din aspect.
Ce face cu o latură?
Mediatoarea
Trece perpendicular prin mijlocul ei.
Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui.
Date M ∈ [BC], BM = MC și d ⟂ BC ⇒ Concluzie d este mediatoarea lui [BC]
De unde pornește?
Înălțimea
Dintr-un vârf, perpendicular pe latura opusă.
Înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe dreapta care conține latura opusă.
Date Hₐ ∈ (BC) și AHₐ ⟂ BC ⇒ Concluzie [AHₐ] este înălțimea din A
Ce împarte în două?
Bisectoarea
Unghiul din vârf.
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care îl împarte în două unghiuri congruente.
Date m(∠BAD) = m(∠DAC) ⇒ Concluzie [AD) este bisectoarea lui ∠BAC
Comparația care te scoate din încurcătură
Citește verbul și condiția, nu înclinația liniei.
Medianădintr-un vârfajunge în mijlocul laturii opuse
Înălțimedintr-un vârfeste perpendiculară pe dreapta laturii opuse
Bisectoaredintr-un vârfîmparte unghiul în două unghiuri congruente
Mediatoareprin mijlocul unei laturieste perpendiculară pe acea latură
Apoi, punctele de întâlnire
Trei linii de același fel se întâlnesc într-un centru.
Concurente înseamnă că trei sau mai multe drepte trec prin același punct. Fiecare familie de linii are propriul punct de concurență.
Se întâlnesc cele trei mediane
Centrul de greutate
Este întotdeauna în interior. Pe fiecare mediană, partea dintre vârf și G este de două ori partea dintre G și mijlocul laturii.
AG : GM = 2 : 1Se întâlnesc cele trei mediatoare
Centrul cercului circumscris
Este la aceeași distanță de cele trei vârfuri și devine centrul cercului care trece prin A, B și C.
OA = OB = OCSe întâlnesc dreptele celor trei înălțimi
Ortocentrul
Într-un triunghi ascuțitunghic este în interior; într-un triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
din A: ⟂ BC · din B: ⟂ AC · din C: ⟂ ABSe întâlnesc cele trei bisectoare interioare
Centrul cercului înscris
Este întotdeauna în interior și se află la aceeași distanță de dreptele celor trei laturi.
d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, CA)Poziția nu se ghicește
Tipul triunghiului mută două dintre centre.
Triunghi ascuțitunghic
G, I, O și H sunt în interior.
Triunghi dreptunghic
O este mijlocul ipotenuzei, H este vârful unghiului drept, iar G și I sunt în interior.
Triunghi obtuzunghic
O și H sunt în exterior, iar G și I rămân în interior.
Când mai multe roluri coincid
Coincidența este o proprietate, nu o regulă generală.
Uneori aceeași urmă poartă mai multe nume. Acest lucru trebuie justificat prin tipul triunghiului, nu observat numai din desen.
Din vârful principal spre mijlocul bazei
Segmentul este mediană, înălțime și bisectoare, iar dreapta care îl conține este mediatoarea bazei.
Motivul: cele două triunghiuri formate sunt congruente.Toate cele patru centre coincid
Pentru fiecare vârf, linia importantă are toate cele patru roluri. În același punct se află G = O = H = I.
Simetria există față de fiecare dintre cele trei linii.Mijlocul ipotenuzei devine centru
Mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, iar mediana dusă spre ipotenuză este egală cu jumătate din ea.
Dacă M este mijlocul ipotenuzei, MA = MB = MC.De la recunoaștere la justificare
Alegi linia după date, nu după desen.
Poți începe de oriunde. Fiecare răspuns îți arată relația matematică pe care merită să o scrii.
Transformi formularea din enunț în numele liniei potrivite.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, punctul D aparține segmentului [BC] și BD = DC. Segmentul [AD] este:
Mijlocul laturii opuse este cuvântul-reper.
Rezolvare
Din D ∈ [BC] și BD = DC rezultă că D este mijlocul segmentului [BC]. Segmentul care unește vârful A cu mijlocul laturii opuse este mediana [AD].
În triunghiul ABC, Hₐ aparține dreptei (BC), iar AHₐ ⟂ BC. Segmentul [AHₐ] este:
Din vârf + perpendicular pe dreapta laturii opuse înseamnă o singură linie importantă.
Rezolvare
Hₐ se află pe dreapta (BC), iar AHₐ este perpendiculară pe BC. Prin definiție, [AHₐ] este înălțimea corespunzătoare laturii [BC].
Punctul M este mijlocul segmentului [BC], iar dreapta d trece prin M și este perpendiculară pe BC. Dreapta d este:
Ai exact cele două condiții din definiția mediatoarei.
Rezolvare
M este mijlocul lui [BC], iar d ⟂ BC în M. Prin urmare, d este mediatoarea segmentului [BC].
Folosești proprietatea centrului sau a liniei pentru a obține o lungime.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, [AD] este mediană, iar BD = 7 cm. Lungimea BC este:
Mediană → D este mijlocul lui [BC] → BD = DC.
Rezolvare
Deoarece [AD] este mediană, D este mijlocul segmentului [BC]. Așadar DC = BD = 7 cm, iar BC = BD + DC = 14 cm.
Medianele triunghiului ABC se intersectează în G. Pe mediana [AM], AG = 8 cm. Lungimea GM este:
Din AG : GM = 2 : 1 rezultă AG = 2 · GM.
Rezolvare
Centrul de greutate împarte mediana în raportul 2 : 1, începând de la vârf. Din AG = 2 · GM și AG = 8 cm rezultă GM = 4 cm.
O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar OA = 6,5 cm. Suma OB + OC este:
O este egal depărtat de toate cele trei vârfuri.
Rezolvare
Fiind centrul cercului circumscris, O verifică OA = OB = OC. Rezultă OB + OC = 6,5 + 6,5 = 13 cm.
Recunoști proprietatea ascunsă într-o formulare și o justifici scurt.
0 / 3 rezolvate
I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Perpendicularele ID, IE și IF sunt duse pe dreptele AB, BC, respectiv CA. Dacă ID = 4 cm, atunci IE + IF este:
Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
Rezolvare
I este intersecția bisectoarelor și este egal depărtat de dreptele laturilor. Prin urmare ID = IE = IF = 4 cm, deci IE + IF = 8 cm.
Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Care pereche descrie corect centrul cercului circumscris O și ortocentrul H?
Ipotenuza este diametrul cercului circumscris, iar catetele sunt perpendiculare.
Rezolvare
Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri, deci este O. Catetele AB și AC sunt două înălțimi și se intersectează în A, deci H = A.
În triunghiul isoscel ABC, AB = AC. Punctul D este mijlocul bazei [BC]. Care afirmație este sigură?
Compară triunghiurile ABD și ACD: AB = AC, BD = DC și AD este comun.
Rezolvare
Triunghiurile ABD și ACD sunt congruente prin L.L.L. Rezultă ∠BAD = ∠DAC și ∠ADB = ∠ADC. Ultimele două sunt adiacente suplementare și egale, deci au câte 90°, iar AD ⟂ BC.
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei [BC], iar G este centrul de greutate al triunghiului.
- Calculează lungimile BC și AM.
- Determină lungimile AG și GM.
Am nevoie de un indiciu
Folosește Pitagora, apoi proprietatea mijlocului ipotenuzei. Pe mediana [AM], centrul de greutate păstrează raportul AG : GM = 2 : 1.
O rezolvare completă posibilă
- Triunghiul ABC este dreptunghic în A, deci BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100. Rezultă BC = 10 cm.
- M este mijlocul ipotenuzei [BC]. Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, deci MA = MB = MC = BC : 2 = 5 cm.
- Segmentul [AM] este mediană deoarece unește vârful A cu mijlocul laturii [BC].
- G este centrul de greutate, deci se află pe mediana [AM] și AG : GM = 2 : 1.
- Cum AM = AG + GM = 5 cm, mediana este împărțită în trei părți egale. Rezultă GM = 5/3 cm și AG = 10/3 cm.
- Verificare: AG + GM = 10/3 + 5/3 = 5 cm = AM și AG = 2 · GM.
- Răspuns: BC = 10 cm, AM = 5 cm, AG = 10/3 cm și GM = 5/3 cm.
Legătura următoare din peșteră
Liniile devin instrumente în demonstrații.
În Sala triunghiurilor gemene, medianele, înălțimile și bisectoarele devin concluzii pe care le obții printr-o demonstrație completă.