Latură · Latură · Latură
L.L.L.
AB = DE · AC = DF · BC = EF
Trei lungimi fixează forma și mărimea triunghiului. Nu mai rămâne loc pentru o a doua construcție diferită.
Clasa a VII-a · Sala triunghiurilor gemene
Congruența triunghiurilor
Două triunghiuri pot fi așezate diferit și totuși să coincidă perfect. Ca să dovedești asta, nu te bazezi pe privire: cauți trei relații potrivite.
Date → criteriu → corespondență → concluzie. Acesta este firul pe care nu îl pierzi într-o demonstrație.
Înaintea criteriilor
Congruente înseamnă aceeași formă și aceeași mărime.
Dacă ai putea muta, roti sau întoarce unul dintre triunghiuri peste celălalt, ele ar coincide punct cu punct. Poziția nu schimbă lungimile și măsurile unghiurilor.
Scrierea care păstrează cheia
△ABC ≡ △DEF A ↔ DB ↔ EC ↔ F
- AB = DE, BC = EF, AC = DF
- ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
Nu reordona literele la întâmplare. O scriere greșită produce perechi greșite chiar dacă ideea demonstrației este bună.
Trei intrări în aceeași sală
Cauți unul dintre cele trei cazuri.
Nu trebuie să demonstrezi dinainte toate cele șase egalități. Un criteriu îți spune ce grup minim de date fixează un singur triunghi.
Latură · Unghi · Latură
L.U.L.
AB = DE · ∠A = ∠D · AC = DF
Unghiul trebuie să fie cel cuprins între laturile date: A între AB și AC, respectiv D între DE și DF.
Unghi · Latură · Unghi
U.L.U.
∠B = ∠E · BC = EF · ∠C = ∠F
Latura cunoscută este cuprinsă între unghiurile cunoscute. Ea fixează și mărimea, nu numai forma.
De ce sunt suficiente?
Fiecare grup de date permite construirea unui singur triunghi, până la mutare, rotație sau reflexie. Criteriul este o justificare, nu o prescurtare ghicită după desen.
Din date până la concluzie
Congruența este mijlocul demonstrației, nu capătul ei.
După ce ai demonstrat că triunghiurile sunt congruente, revii la cerință și alegi numai perechea de laturi sau unghiuri care îți oferă răspunsul.
Aleg
△ABD și △ACD
Potrivesc
AB = AC · BD = DC · AD = AD
Numesc
△ABD ≡ △ACD, prin L.L.L.
Extrag
∠BAD = ∠DAC și ∠ADB = ∠ADC
Închid
[AD] este bisectoare și AD ⟂ BC
Caz special util
Triunghiurile dreptunghice pornesc deja cu un unghi egal.
De aceea există criterii scurte: catetă–catetă, catetă–unghi ascuțit, ipotenuză–unghi ascuțit și ipotenuză–catetă.
Ține-le separat
Congruență și asemănare
Laturile corespunzătoare au raportul 1.
Laturile corespunzătoare sunt proporționale.
U.U. poate demonstra asemănarea. Nu poate demonstra singur congruența. Cazurile de asemănare vor avea traseul lor separat.
Când NU merge?
Patru opriri înainte să scrii criteriul
- Desenul nu este dată.Segmentele care par egale nu devin egale fără marcaj sau justificare.
- U.U.U. nu fixează mărimea.Obții asemănare, nu neapărat congruență.
- În L.U.L., unghiul este cuprins.El trebuie să se afle între cele două laturi cunoscute.
- Concluzia nu poate deveni dată.Nu presupui perpendicularitatea pe care tocmai trebuie să o demonstrezi.
Atelierul sigiliilor
Alegi criteriul, apoi închizi demonstrația.
Cele trei trasee schimbă felul întrebării, nu valoarea ta. Poți începe de oriunde și poți reveni fără scor.
Dacă △ABC ≡ △DEF, latura corespunzătoare laturii [AB] este:
Indiciu Scrie perechile de vârfuri una sub alta.
Un drum complet
Din △ABC ≡ △DEF rezultă corespondența A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Capetele lui [AB] corespund lui D și E, deci [AB] ↔ [DE].
Se cunosc AB = DE, BC = EF și AC = DF. Ce criteriu dovedește congruența triunghiurilor ABC și DEF?
Indiciu Numără tipul elementelor date: latură, latură, latură.
Un drum complet
Cele trei relații compară exact laturile corespunzătoare: AB ↔ DE, BC ↔ EF și AC ↔ DF. Prin cazul L.L.L., △ABC ≡ △DEF.
Două triunghiuri au, două câte două, unghiuri cu măsuri egale. Putem afirma întotdeauna că sunt congruente?
Indiciu Imaginează-ți că mărești o fotografie fără să-i schimbi forma.
Un drum complet
Triunghiurile cu unghiuri corespunzătoare congruente au aceeași formă, deci sunt asemenea. Ele sunt congruente numai dacă au și aceeași mărime; de exemplu, dacă o pereche de laturi corespunzătoare este congruentă.
În triunghiul isoscel ABC, AB = AC. Punctul D este mijlocul lui [BC]. Pentru triunghiurile ABD și ACD mai folosești relația:
Indiciu Ce segment aparține ambelor triunghiuri?
Un drum complet
D este mijlocul lui [BC], deci BD = DC. Mai avem AB = AC și AD = AD, fiind latură comună. Prin L.L.L., △ABD ≡ △ACD.
Se cunosc AB = DE, AC = DF și ∠BAC = ∠EDF. Cazul de congruență este:
Indiciu Privește vârful comun celor două laturi din fiecare triunghi.
Un drum complet
Laturile AB și AC se întâlnesc în A, deci ∠BAC este unghiul lor cuprins. Laturile DE și DF se întâlnesc în D, iar ∠EDF este unghiul lor cuprins. Rezultă congruența prin L.U.L.
Din △ABC ≡ △DEF și corespondența A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F rezultă:
Indiciu Litera din mijlocul unui unghi este vârful lui.
Un drum complet
În ∠ACB, litera din mijloc este C. Vârful corespunzător este F. Latura CA corespunde lui FD, iar CB corespunde lui FE, deci unghiul corespunzător este ∠DFE.
Triunghiurile ABC și DEF sunt dreptunghice în A, respectiv D. Dacă BC = EF și AB = DE, ele sunt congruente prin:
Indiciu Unghiurile drepte sunt deja cunoscute în ambele triunghiuri.
Un drum complet
Avem ∠A = ∠D = 90°, ipotenuzele BC = EF și catetele AB = DE. Prin criteriul ipotenuză–catetă, △ABC ≡ △DEF.
ABCD este paralelogram. Pentru a demonstra că △ABC ≡ △CDA folosind L.L.L., a treia relație, pe lângă AB = CD și BC = AD, este:
Indiciu Caută segmentul desenat o singură dată, dar folosit de ambele triunghiuri.
Un drum complet
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente: AB = CD și BC = AD. Mai avem AC = AC, latură comună. Prin L.L.L., △ABC ≡ △CDA.
Se cunosc AB = DE, AC = DF și ∠ABC = ∠DEF. Putem aplica direct cazul L.U.L.?
Indiciu Numește unghiul format chiar de laturile AB și AC.
Un drum complet
Laturile AB și AC au vârful comun A, deci unghiul cuprins este ∠BAC. Enunțul oferă ∠ABC, aflat la B. Cazul L.U.L. nu poate fi aplicat direct.
În stil de examen · geometrie plană
O singură congruență, două concluzii.
a) 2 p + b) 3 pÎn figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel cu baza [BC], iar punctul D este mijlocul segmentului [BC].
- a) Arată că triunghiurile ABD și ACD sunt congruente.
- b) Demonstrează că AD ⟂ BC și că [AD] este bisectoarea unghiului BAC.
Verbul „arată” cere criteriul complet. Verbul „demonstrează” cere să legi apoi consecințele de concluzia solicitată.
O rezolvare completă posibilă
- D este mijlocul segmentului [BC], deci D ∈ [BC] și BD = DC.
- Triunghiul ABC este isoscel cu baza [BC], așadar AB = AC.
- Segmentul [AD] este comun triunghiurilor ABD și ACD, deci AD = AD.
- Avem trei perechi de laturi corespunzătoare congruente: AB = AC, BD = DC și AD = AD. Prin cazul L.L.L., △ABD ≡ △ACD.
- Din congruență rezultă ∠BAD = ∠DAC, deci [AD] este bisectoarea unghiului BAC.
- Tot din congruență rezultă ∠ADB = ∠ADC. Aceste unghiuri sunt adiacente suplementare deoarece B, D și C sunt coliniare.
- Două unghiuri congruente și suplementare au fiecare 90°, deci AD ⟂ BC. Prin urmare, [AD] este și înălțime.
- Verificare: nu am presupus nici bisectoarea, nici perpendicularitatea din desen; am folosit numai datele, criteriul L.L.L. și consecințele congruenței.
Legătura următoare din peșteră
Aceeași formă poate apărea la altă scară.
În Sala ecourilor geometrice păstrezi forma, schimbi mărimea și înveți să folosești criteriile U.U., L.U.L. și L.L.L. fără să le confunzi cu cele de congruență.