Unghiurile nu se schimbă.
Când toate lungimile sunt înmulțite cu același număr pozitiv, deschiderea dintre laturi rămâne aceeași.
Clasa a VII-a · Sala ecourilor geometrice
Asemănarea triunghiurilor
Un triunghi poate deveni mai mare, mai mic sau poate fi întors, fără să-și schimbe forma. Ca să dovedești asemănarea, cauți unghiuri corespunzătoare și același raport între laturi.
Corespondență → criteriu → raport → lungime sau arie. Acesta este firul pe care îl vei folosi în probleme.
Ideea de bază
Aceleași unghiuri păstrează forma. Un singur raport schimbă scara.
Două triunghiuri asemenea au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale. Ele nu trebuie să aibă aceeași mărime și nici aceeași poziție.
Scrierea care păstrează corespondența
△ABC ∼ △DEF A ↔ DB ↔ EC ↔ F
- ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
- DE/AB = EF/BC = DF/AC = 4/3
Raportul are sens. De la △ABC la △DEF este 4/3; în sens invers este 3/4.
Același k leagă toate lungimile.
Nu mărești o latură cu 2 și alta cu 3. O singură valoare a lui k se aplică tuturor laturilor corespunzătoare.
Congruența este cazul k = 1.
Triunghiurile congruente sunt întotdeauna asemenea. Inversul nu este adevărat decât atunci când raportul de asemănare este 1.
Trei intrări spre aceeași concluzie
Criteriul îți spune ce date sunt suficiente.
Nu trebuie să verifici de fiecare dată toate unghiurile și toate rapoartele. Este suficient să recunoști unul dintre cele trei criterii și să păstrezi ordinea elementelor corespunzătoare.
Unghi · Unghi
U.U.
∠A = ∠D și ∠B = ∠E
A treia pereche de unghiuri este automat congruentă, deoarece suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
Latură · Unghi · Latură
L.U.L.
AB/DE = AC/DF și ∠A = ∠D
Unghiul congruent trebuie să fie cuprins între cele două laturi proporționale din fiecare triunghi.
Latură · Latură · Latură
L.L.L.
DE/AB = EF/BC = DF/AC
Toate cele trei rapoarte trebuie scrise în aceeași ordine. Două rapoarte egale nu sunt suficiente pentru L.L.L.
De ce funcționează?
Fiecare criteriu fixează forma triunghiului, dar permite schimbarea scării. Spre deosebire de congruență, laturile nu sunt obligate să fie egale: ele trebuie să păstreze același raport.
Laboratorul scării
Lungimile folosesc k. Ariile folosesc k².
Alege un cristal. Pornești de la un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4 și 5, perimetrul 12 și aria 6.
Raport ales k = 3/2
- Laturi
- 4,5 · 6 · 7,5
- Perimetru
- 18
- Arie
- 13,5
Este asemenea, dar nu congruent: k ≠ 1.
Unghiurile corespondente sunt congruente, iar k = 1.
Recapitulează congruența →Unghiurile se păstrează, iar laturile se schimbă cu același k.
Când NU merge?
Patru opriri înainte să scrii ∼
- Desenul nu este dovadă.Triunghiurile care par la fel pot avea unghiuri sau rapoarte diferite.
- Un singur unghi nu este suficient.Orice două triunghiuri pot avea câte un unghi congruent și forme diferite.
- În L.U.L., unghiul este cuprins.El trebuie să se afle între laturile folosite în cele două rapoarte.
- Două rapoarte nu formează L.L.L.Trebuie verificată și a treia pereche de laturi corespunzătoare.
Verificare prin raport
Obții aceeași valoare a lui k pentru fiecare pereche?Verificare prin estimare
Dacă k < 1, toate lungimile și aria trebuie să scadă.Verificare prin unghiuri
Vârfurile puse în corespondență au aceeași deschidere?Atelierul ecourilor
Recunoști forma, apoi folosești scara.
Cele trei trasee schimbă felul întrebării, nu valoarea ta. Poți începe de oriunde și poți reveni fără scor.
Dacă △ABC ∼ △DEF, latura corespunzătoare laturii [AC] este:
Indiciu Scrie vârfurile pe două rânduri, în aceeași ordine.
Un drum complet
Din △ABC ∼ △DEF rezultă A ↔ D, B ↔ E și C ↔ F. Capetele segmentului [AC] corespund lui D și F, așadar [AC] ↔ [DF].
Triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea, cu AB = 6 cm și DE = 9 cm. Raportul de asemănare de la △ABC la △DEF este:
Indiciu Scrie lungimea din triunghiul la care ajungi peste lungimea din triunghiul de la care pornești.
Un drum complet
AB corespunde lui DE. Pentru sensul △ABC → △DEF, k = DE/AB = 9/6 = 3/2. Fiecare lungime din al doilea triunghi este de 3/2 ori lungimea corespunzătoare din primul.
Un triunghi are laturile de 4 cm, 5 cm și 6 cm. Un triunghi asemenea este obținut cu k = 2. Perimetrul lui este:
Indiciu Calculează mai întâi 4 + 5 + 6, apoi aplică raportul.
Un drum complet
P = 4 + 5 + 6 = 15 cm. Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare, deci P′ = 2 · 15 = 30 cm.
În triunghiul ABC, punctele D ∈ [AB] și E ∈ [AC] verifică DE ∥ BC. Triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea prin:
Indiciu Caută unghiul comun și unghiurile determinate de paralele.
Un drum complet
∠DAE = ∠BAC, fiind același unghi. Din DE ∥ BC rezultă, de exemplu, ∠ADE = ∠ABC. Avem două perechi de unghiuri respectiv congruente, deci △ADE ∼ △ABC prin U.U.
Se cunosc AB/DE = 4/6, AC/DF = 6/9 și ∠BAC = ∠EDF. Criteriul de asemănare este:
Indiciu Verifică mai întâi 4/6 = 6/9, apoi poziția unghiurilor.
Un drum complet
AB/DE = 4/6 = 2/3 și AC/DF = 6/9 = 2/3. ∠BAC este cuprins între AB și AC, iar ∠EDF între DE și DF. Prin L.U.L., △ABC ∼ △DEF.
Raportul laturilor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este 2 : 3. Raportul ariilor, în aceeași ordine, este:
Indiciu Lungime → k; arie → k².
Un drum complet
Dacă raportul lungimilor este 2/3, raportul ariilor este (2/3)² = 4/9. În aceeași ordine, ariile sunt în raportul 4 : 9.
Se știe că △ABC ∼ △DEF, AB = 8 cm, AC = 10 cm și DE = 12 cm. Lungimea DF este:
Indiciu Scrie mai întâi corespondențele AB ↔ DE și AC ↔ DF.
Un drum complet
Din ordinea asemănării, AB/DE = AC/DF. Astfel, 8/12 = 10/DF. Prin înmulțire în cruce, 8 · DF = 120, deci DF = 15 cm. Verificare: 12/8 = 15/10 = 3/2.
Un triunghi are laturile 4 cm, 6 cm, 8 cm, iar altul 6 cm, 9 cm, 13 cm. Sunt triunghiurile asemenea prin L.L.L.?
Indiciu Compară 6/4, 9/6 și 13/8.
Un drum complet
Primele două rapoarte sunt 3/2. Al treilea este 13/8, iar 13/8 ≠ 3/2. Criteriul L.L.L. nu se aplică, deci triunghiurile nu sunt asemenea.
În △ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC. Care este începutul corect al demonstrației △ADE ∼ △ABC?
Indiciu Separă unghiul comun de unghiul obținut din paralelism.
Un drum complet
Deoarece D ∈ [AB] și E ∈ [AC], semidreptele AD și AB coincid, la fel AE și AC; astfel ∠DAE = ∠BAC. Din DE ∥ BC rezultă ∠ADE = ∠ABC. Prin criteriul U.U., △ADE ∼ △ABC.
În stil de examen · geometrie plană
Paralela deschide două calcule.
a) 2 p + b) 3 pÎn figura alăturată, D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC. Se cunosc AB = 15 cm, AD = 9 cm, AC = 20 cm și aria triunghiului ABC egală cu 150 cm².
- a) Arată că △ADE ∼ △ABC.
- b) Determină lungimea AE și aria patrulaterului DBCE.
„Arată” cere cele două unghiuri și criteriul. „Determină” cere apoi raportul lungimilor și pătratul lui pentru arii.
O rezolvare completă posibilă
- Deoarece D ∈ [AB] și E ∈ [AC], avem ∠DAE = ∠BAC: este unghiul comun al celor două triunghiuri.
- Din DE ∥ BC rezultă ∠ADE = ∠ABC, ca unghiuri corespondente.
- Prin criteriul U.U., △ADE ∼ △ABC, cu A ↔ A, D ↔ B și E ↔ C.
- Raportul de asemănare de la △ABC la △ADE este k = AD/AB = 9/15 = 3/5.
- Din AE/AC = 3/5 obținem AE = 3/5 · 20 = 12 cm.
- Raportul ariilor este A△ADE/A△ABC = k² = 9/25, deci A△ADE = 9/25 · 150 = 54 cm².
- Patrulaterul DBCE este partea rămasă: ADBCE = 150 − 54 = 96 cm².
- Verificare: AE < AC și A△ADE < A△ABC, ceea ce corespunde figurii și raportului k = 3/5.
Legătura următoare din peșteră
O paralelă transformă asemănarea într-o proporție.
În Coridorul proporțiilor vei folosi triunghiurile asemenea pentru a înțelege teorema lui Thales și drumul ei în sens invers.