Este același unghi din vârful A, scris în cele două triunghiuri.
Clasa a VII-a · Coridorul proporțiilor
Teorema lui Thales
O dreaptă paralelă cu o latură a triunghiului taie celelalte două laturi în același raport. De aici pornesc calcule, demonstrații și o metodă sigură de a recunoaște paralelismul.
Paralelism → triunghiuri asemenea → rapoarte. În sens invers, rapoartele potrivite pot demonstra paralelismul.
Teorema directă
O paralelă păstrează aceeași fracțiune pe fiecare latură.
În triunghiul ABC, punctele D și E se află pe laturile [AB] și [AC]. Când DE ∥ BC, triunghiul ADE este o copie la scară a triunghiului ABC.
Poziția aleasă la jumătate
- Pe [AB]
- AD/AB = 1/2
- Pe [AC]
- AE/AC = 1/2
- Între paralele
- DE/BC = 1/2
Toate cele trei rapoarte au aceeași valoare: 1/2.
D ∈ [AB], E ∈ [AC], DE ∥ BC ⇒ AD/AB = AE/AC = DE/BC
Dreptele paralele DE și BC determină unghiuri corespondente congruente.
Laturile corespunzătoare ale triunghiurilor asemenea sunt proporționale.
Aceeași ordine pe ambele laturi
Nu memorezi o singură fracție. Spui ce compari.
Mai multe proporții sunt corecte, dar într-o egalitate trebuie să păstrezi aceeași poveste: mic/mare, sus/jos sau stânga/dreapta.
Fiecare numărător este o latură a triunghiului mic ADE, iar fiecare numitor este latura corespunzătoare a triunghiului mare ABC.
Pe ambele laturi compari segmentul dintre A și paralelă cu segmentul dintre paralelă și baza [BC].
Compari segmente aflate la același nivel pe cele două laturi. Sensul poate fi inversat, dar trebuie inversate toate rapoartele.
Exemplu citit în cuvinte
Alegi raportul după datele pe care le ai.
Dacă AD = 6, AB = 15 și AC = 20, apar natural întregurile AB și AC. Scrii AD/AB = AE/AC, nu cauți segmente care nu sunt date.
mic / mare
6/15 = AE/20
⇔15 · AE = 120
AE = 8 Verificare: 6/15 = 8/20 = 2/5.Când NU merge?
Patru opriri înainte de proporție
- Paralelismul nu este dat sau demonstrat. O linie care pare paralelă în desen nu îți permite să aplici teorema directă.
- Ordinea se schimbă la jumătate. Dacă începi cu AD/DB, continui cu AE/EC, nu cu EC/AE.
- Amesteci partea cu întregul. AD/AB nu se potrivește cu AE/EC: primul este mic/mare, al doilea este sus/jos.
- Uiți poziția punctelor. Reciproca are nevoie ca D și E să fie pe cele două laturi sau pe aceleași semidrepte.
OrdinePoți numi fiecare raport în aceleași cuvinte?
CalculProdusele în cruce sunt egale?
EstimareO parte din latură a ieșit mai mică decât întregul?
Drumul în sens invers
Rapoartele egale pot demonstra că două drepte sunt paralele.
Teorema directă pornește de la paralelism și ajunge la proporții. Reciproca pornește de la proporții și ajunge la paralelism.
DE ∥ BC
⇒AD/DB = AE/EC Folosești paralelismul ca să calculezi lungimi.AD/DB = AE/EC
⇒DE ∥ BC Folosești rapoartele ca să demonstrezi paralelismul.Un caz special foarte des folosit
Două mijloace construiesc linia mijlocie.
Dacă D este mijlocul lui [AB] și E este mijlocul lui [AC], atunci AD/DB = AE/EC = 1. Reciproca lui Thales arată că DE ∥ BC, iar teorema directă dă DE/BC = 1/2.
DE ∥ BC și DE = BC/2De la proporție la demonstrație
Alegi sensul drumului înainte să calculezi.
Teorema directă pornește de la paralele. Reciproca pornește de la rapoarte. Fiecare rezolvare începe prin a spune clar ce știi.
Recunoști configurația și păstrezi aceeași ordine în rapoarte.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC. Dacă AD = 4 cm, DB = 6 cm și AE = 5 cm, atunci EC este:
Scrie partea de sus peste partea de jos pe ambele laturi.
Rezolvare
Deoarece DE ∥ BC, teorema lui Thales dă AD/DB = AE/EC. Înlocuim: 4/6 = 5/EC. Prin înmulțire în cruce, 4 · EC = 30, de unde EC = 7,5 cm.
În aceeași configurație, AD = 6 cm, AB = 10 cm și AC = 15 cm. Lungimea AE este:
AD este parte din AB, iar AE este partea corespunzătoare din AC.
Rezolvare
Din DE ∥ BC rezultă AD/AB = AE/AC. Așadar 6/10 = AE/15. Obținem 10 · AE = 90, deci AE = 9 cm.
Pentru D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC, care egalitate este întotdeauna corectă?
Numește în cuvinte numărătorul și numitorul fiecărui raport.
Rezolvare
Triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea, deci laturile corespunzătoare sunt proporționale: AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Folosești reciproca și recunoști linia mijlocie.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, D ∈ [AB] și E ∈ [AC]. Se cunosc AD = 6 cm, DB = 4 cm, AE = 9 cm și EC = 6 cm. Atunci:
Calculează separat 6/4 și 9/6.
Rezolvare
Avem D ∈ [AB], E ∈ [AC] și AD/DB = 6/4 = 3/2 = 9/6 = AE/EC. Prin reciproca teoremei lui Thales, DE ∥ BC.
D și E sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC] ale triunghiului ABC. Dacă BC = 18 cm, atunci DE este:
Mijloc înseamnă AD/AB = AE/AC = 1/2.
Rezolvare
Din AD = DB și AE = EC rezultă AD/AB = AE/AC = 1/2. Reciproca lui Thales arată că DE ∥ BC, iar teorema directă dă DE/BC = 1/2. Prin urmare DE = 9 cm.
În configurația lui Thales, AD/AB = 3/5, iar AE = 6 cm. Lungimea AC este:
În raportul 3/5, numărul 6 ocupă locul lui 3.
Rezolvare
Teorema lui Thales dă AD/AB = AE/AC. Înlocuind, 3/5 = 6/AC. Rezultă 3 · AC = 5 · 6 = 30, deci AC = 10 cm.
Citești datele din figură și justifici veriga nevăzută.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC. Dacă AB = 18 cm, AD = 12 cm și AC = 15 cm, atunci EC este:
Află AE, apoi folosește AC = AE + EC.
Rezolvare
Din DE ∥ BC rezultă AD/AB = AE/AC. Astfel 12/18 = AE/15, adică 2/3 = AE/15, de unde AE = 10 cm. Cum AC = AE + EC, obținem EC = 15 − 10 = 5 cm.
În triunghiul ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC], AD = 8 cm, DB = 4 cm, AE = 12 cm și EC = 6 cm. Care justificare este corectă?
Scrie sus/jos pe fiecare dintre cele două laturi.
Rezolvare
AD/DB = 8/4 = 2 și AE/EC = 12/6 = 2. Punctele D și E se află pe laturile [AB], respectiv [AC], deci prin reciproca teoremei lui Thales rezultă DE ∥ BC.
D și E sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC]. Dacă aria triunghiului ADE este 20 cm², aria triunghiului ABC este:
D și E mijloace → k = 1/2 → raportul ariilor este k².
Rezolvare
[DE] este linie mijlocie, deci △ADE ∼ △ABC cu raportul 1/2. Atunci A_ADE/A_ABC = (1/2)² = 1/4. Rezultă A_ABC = 4 · 20 = 80 cm².
În stil de Subiectul III · a) 2 p + b) 3 p
O paralelă, două rezultate
În triunghiul ABC, punctele D ∈ [AB] și E ∈ [AC] verifică DE ∥ BC. Se cunosc AD = 6 cm, DB = 3 cm, AE = 8 cm și aria triunghiului ABC egală cu 81 cm².
- Arată că EC = 4 cm.
- Determină aria patrulaterului DBCE.
Am nevoie de un indiciu
Pentru a), compară sus/jos pe cele două laturi. Pentru b), află raportul AD/AB și ridică-l la pătrat pentru arii.
O rezolvare completă posibilă
- Din D ∈ [AB], E ∈ [AC] și DE ∥ BC putem aplica teorema lui Thales.
- Pentru segmentele de pe laturi scriem AD/DB = AE/EC.
- Înlocuim valorile: 6/3 = 8/EC, deci 2 = 8/EC. Rezultă EC = 4 cm.
- Pentru arii folosim triunghiurile asemenea ADE și ABC. Avem AB = AD + DB = 9 cm, așadar raportul de asemănare este AD/AB = 6/9 = 2/3.
- Raportul ariilor este pătratul raportului lungimilor: A_ADE/A_ABC = (2/3)² = 4/9.
- Cum A_ABC = 81 cm², obținem A_ADE = 4/9 · 81 = 36 cm².
- Patrulaterul DBCE ocupă partea rămasă: A_DBCE = 81 − 36 = 45 cm².
- Verificare: EC = 4 cm face 6/3 = 8/4 = 2, iar 36 + 45 = 81 cm².
- Răspuns: EC = 4 cm și aria patrulaterului DBCE este 45 cm².
O privire mai largă asupra formelor
Paralelele reapar în patrulatere și în probleme cu arii.
În Galeria formelor, proprietățile paralelogramului, trapezului și ale figurilor asemenea folosesc aceeași grijă pentru laturi, înălțimi și rapoarte.