Vârfurile sunt puncte cu poziții cunoscute.
Formă · mișcare · coordonate
Atlasul transformărilor
O figură se poate deplasa, oglindi, roti sau mări. Ca să o recunoști după călătorie, urmărești două lucruri: regula fiecărui punct și proprietățile care au rămas neschimbate.
Busola atlasului: unde ajunge punctul, ce se păstrează și ce se schimbă?
Înainte de deplasare
Transformarea lucrează cu fiecare punct.
Regula se aplică tuturor punctelor figurii.
Marcajul „prim” arată punctele obținute.
01 · Laboratorul mișcărilor
Aceeași figură. Patru reguli.
Triunghiul inițial are vârfurile A(−3, 1), B(−1, 1), C(−2, 3). Alege o transformare și urmărește simultan figura și coordonatele.
Deplasare cu vectorul v(4, −2)
(x, y) → (x + 4, y − 2)- A(−3, 1)
- A′(1, −1)
- B(−1, 1)
- B′(3, −1)
- C(−2, 3)
- C′(2, 1)
Fiecare punct se deplasează cu același vector. Lungimile, unghiurile, paralelismul și orientarea se păstrează.
02 · Fișa de identitate
Ce se păstrează spune cine este transformarea.
O proprietate care rămâne neschimbată se numește invariant. Transformările nu se deosebesc numai prin aspect, ci prin invarianții lor.
| Transformare | Lungimi | Unghiuri | Paralelism | Orientare | Arii |
|---|---|---|---|---|---|
| Translație | se păstrează | se păstrează | se păstrează | se păstrează | se păstrează |
| Simetrie axială | se păstrează | se păstrează | se păstrează | se inversează | se păstrează |
| Rotație | se păstrează | se păstrează | se păstrează | se păstrează | se păstrează |
| Omotetie, k = 2 | × 2 | se păstrează | se păstrează | se păstrează | × 4 |
03 · Două transformări succesive
Aceleași operații. Altă ordine. Alt punct.
Punctul P(−2, 3) este oglindit față de Oy și translatat cu vectorul (1, −2). Schimbă ordinea și compară rezultatul.
Punct inițialP(−2, 3)
→ după simetrie(2, 3)
→ rezultat(3, 1)
Simetria schimbă mai întâi semnul lui x; apoi vectorul se adună la noile coordonate.
04 · Antrenament progresiv
Punctul, regula și proprietatea merg împreună.
0 din 10 repere verificate
Punctul A(−2, 3) este translatat cu vectorul v(4, −1). Coordonatele lui A′ sunt:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Simetricul punctului B(−5, 2) față de axa Oy este:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Simetricul punctului C(3, −4) față de axa Ox este:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Punctul D(2, 1) este rotit cu 90° în sens trigonometric în jurul originii. Obții:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Segmentul [AB] are lungimea 7 cm. După o translație, lungimea lui [A′B′] este:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Care dintre transformările următoare inversează orientarea unei figuri?
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Prin omotetia cu centrul O și raportul k = 3, punctul P(−1, 2) devine:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Un triunghi are aria 5 cm². Printr-o omotetie cu raportul k = 3, aria imaginii este:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Care transformare poate schimba mărimea figurii fără să îi schimbe forma?
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Punctul P(−2, 3) este mai întâi simetrizat față de Oy, apoi translatat cu vectorul (1, −2). Rezultatul este:
Aplică regula unui punct și verifică invariantul cerut.
Problemă mixtă · în stil de examen
Triunghiul 3–4–5 își schimbă adresa
În planul cartezian se consideră punctele A(−2, 1), B(1, 1) și C(−2, 5). Triunghiul ABC este translatat cu vectorul v(3, −2).
- Determină coordonatele punctelor A′, B′ și C′.
- Calculează lungimile AB, AC și BC și arată că triunghiul ABC este dreptunghic.
- Justifică de ce triunghiul A′B′C′ are aceeași arie cu ABC și calculează aria.
Compară cu o rezolvare completă
- A′(1, −1), B′(4, −1), C′(1, 3).
- AB = 3, AC = 4, iar BC = √[(−3)² + 4²] = 5. Deoarece 3² + 4² = 5², triunghiul este dreptunghic în A.
- Translația păstrează lungimile și unghiurile, deci triunghiurile ABC și A′B′C′ sunt congruente și au aceeași arie.
- A = AB · AC / 2 = 3 · 4 / 2 = 6 unități pătrate.
Unde continui?