Numești triunghiul
Trei vârfuri și trei laturi primesc nume precise.
△ABC; vârfuri A, B, C; laturi AB, BC, CAClasa a VI-a · lumea mării
Triunghiul și Pitagora
În golf, trei puncte fixează o rută, iar o velă dreptunghică leagă trei lungimi. Urmărești triunghiul de la vârfuri și unghiuri până la relația care face vizibilă o distanță necunoscută.
Scopul tău: cartografiezi triunghiul ABC, drept în A, și urmărești vela de 6–8–10 până la teorema lui Pitagora.
Harta noțiunii
Golful triunghiurilor
Farul este un buton; poți apăsa și textul
Jurnalul cartografului 0 din 10 repere luminate
Poți deschide orice far. Ruta arată doar o ordine utilă.
Forma triunghiului
Unghiuri și măsuri
Canalul distanțelor
Verifici dacă triunghiul există
Cele două laturi mai scurte trebuie să o depășească pe cea mai lungă.
4 cm + 6 cm > 9 cm ✓Privești laturile
Laturile egale îți spun dacă triunghiul este echilateral, isoscel sau oarecare.
3 egale → echilateral; 2 egale → isoscelPrivești unghiurile
Un unghi drept sau obtuz hotărăște numele întregului triunghi.
toate < 90°; unul = 90°; unul > 90°Aduni unghiurile
Cele trei unghiuri interioare au întotdeauna suma de 180°.
∠A + ∠B + ∠C = 180°Măsori conturul și suprafața
Perimetrul adună laturile; aria folosește o bază și înălțimea ei.
P = a + b + c; Aria = b · h / 2Recunoști catetele și ipotenuza
Catetele formează unghiul drept; ipotenuza stă în fața lui.
∠A = 90°; AB și AC catete; BC ipotenuzăAplici teorema lui Pitagora
Suma pătratelor catetelor este pătratul ipotenuzei.
AB² + AC² = BC²Afli latura necunoscută
Aduni pentru ipotenuză și scazi pentru o catetă.
x² = 13² − 5² = 144 → x = 12Verifici și recunoști drumul drept
Reciproca teoremei arată dacă trei laturi formează un triunghi dreptunghic.
6² + 8² = 10² → triunghi dreptunghicAi verificat ruta. Cele trei laturi duc în port.
Cabina de navigație
Aceeași figură, un drum ales cu grijă.
Privești, alegi, justifici.
Farurile ți-au arătat regulile. Aici citești figura și hotărăști ce relație te duce la răspuns.
Citești corect figura, verifici un triunghi și legi unghiurile de laturi.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC, AB = AC și măsura unghiului A este 44°. Măsura unghiului B este:
Laturilor egale AB și AC li se opun unghiurile egale C și B.
Rezolvare
Deoarece AB = AC, triunghiul este isoscel cu baza BC, deci ∠B = ∠C. Din ∠A + ∠B + ∠C = 180° obținem ∠B + ∠C = 136°. Cele două unghiuri fiind egale, ∠B = 136° : 2 = 68°.
Două laturi ale unui triunghi au lungimile de 7 cm și 11 cm. Care poate fi lungimea celei de-a treia laturi?
A treia latură este mai mare decât diferența și mai mică decât suma celorlalte două.
Rezolvare
Notăm a treia latură cu x. Inegalitatea triunghiului dă 11 − 7 < x < 11 + 7, deci 4 < x < 18. Dintre variante, numai 5 cm se află în acest interval.
Un triunghi are aria de 54 cm² și baza de 12 cm. Înălțimea corespunzătoare bazei este:
Pornește de la relația 54 = 12 · h : 2.
Rezolvare
Folosim formula A = b · h / 2. Înlocuim datele: 54 = 12 · h / 2, deci 54 = 6h. Împărțind la 6, obținem h = 9 cm. Verificare: 12 · 9 : 2 = 54 cm².
Identifici triunghiul dreptunghic și alegi relația care folosește exact datele.
0 / 3 rezolvate
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 8 cm și BC = 17 cm. Care relație permite calcularea lui AC?
BC este latura opusă unghiului drept din A.
Rezolvare
Deoarece ∠A = 90°, AB și AC sunt catete, iar BC este ipotenuza. Teorema lui Pitagora dă AB² + AC² = BC². Prin urmare, AC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, deci AC = 15 cm.
Un triunghi are laturile de 8 cm, 15 cm și 17 cm. Aria lui este:
Verifică mai întâi dacă 8² + 15² este egal cu 17².
Rezolvare
Calculăm 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu catetele de 8 cm și 15 cm. Aria este 8 · 15 : 2 = 60 cm².
Un triunghi dreptunghic are catetele de 10 cm și 24 cm. Perimetrul său este:
Calculează ipotenuza înainte să aduni cele trei laturi.
Rezolvare
Notăm ipotenuza cu c. Din teorema lui Pitagora, c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, deci c = 26 cm. Perimetrul este P = 10 + 24 + 26 = 60 cm.
Combini Pitagora cu dreptunghiuri, coordonate și arii compuse.
0 / 3 rezolvate
Un teren dreptunghiular are lungimea de 30 m și lățimea de 16 m. Lungimea diagonalei este:
Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice.
Rezolvare
Notăm diagonala cu d. Laturile dreptunghiului sunt perpendiculare, deci d² = 30² + 16² = 900 + 256 = 1 156. Deoarece 34² = 1 156, rezultă d = 34 m.
Într-un sistem de coordonate, A(1, 2) și B(7, 10). Lungimea segmentului AB este:
Diferența absciselor este 6, iar diferența ordonatelor este 8.
Rezolvare
Prin A și B construim un triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile |7 − 1| = 6 și |10 − 2| = 8. Atunci AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, deci AB = 10 unități.
Un pătrat are diagonala de 10√2 cm. Aria unui triunghi care reprezintă trei sferturi din aria pătratului este:
Diagonala pătratului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel.
Rezolvare
Notăm latura pătratului cu a. Din Pitagora, a² + a² = (10√2)², deci 2a² = 200 și a² = 100. Aria pătratului este 100 cm². Trei sferturi din această arie sunt 3 · 100 : 4 = 75 cm².
În figura alăturată, ABCD este un dreptunghi cu AB = 24 m și AD = 10 m. Punctul E se află pe latura AB astfel încât AE = 6 m. Se amenajează o alee pe traseul D–E–C.
- Arată că lungimea segmentului DE este 2√34 m și determină lungimea segmentului EC.
- Calculează lungimea totală a aleii D–E–C și aria triunghiului DEC.
Am nevoie de un indiciu
Triunghiurile ADE și EBC sunt dreptunghice. Pentru aria lui DEC, scade ariile celor două triunghiuri laterale din aria dreptunghiului.
Un drum complet posibil
- În triunghiul ADE, dreptunghic în A, avem DE² = AD² + AE² = 10² + 6² = 136. Prin urmare, DE = √136 = 2√34 m.
- Deoarece EB = AB − AE = 24 − 6 = 18 m, în triunghiul EBC, dreptunghic în B, avem EC² = EB² + BC² = 18² + 10² = 424.
- Rezultă EC = √424 = 2√106 m.
- Lungimea aleii este DE + EC = 2√34 + 2√106 = 2(√34 + √106) m.
- Aria dreptunghiului ABCD este 24 · 10 = 240 m².
- Aria triunghiului ADE este 6 · 10 : 2 = 30 m², iar aria triunghiului EBC este 18 · 10 : 2 = 90 m².
- Aria triunghiului DEC este 240 − 30 − 90 = 120 m².
- Răspuns: aleea are lungimea 2(√34 + √106) m, iar aria triunghiului DEC este 120 m².
Următoarea legătură din triunghi
Dintr-un vârf pot porni linii cu roluri diferite.
Știi deja ce sunt mijlocul, perpendicularitatea și bisectoarea. În lumea peșterii le așezi în același triunghi și descoperi mediana, mediatoarea, înălțimea și cele patru centre.