Puncte, drepte și unghiuri

Punctul arată o poziție și se notează cu literă mare. Segmentul [AB] are două capete, A și B. Semidreapta [AB) are originea A, trece prin B și continuă într-o singură direcție. Dreapta (AB) trece prin A și B și continuă nelimitat în ambele direcții. Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Relația pe care o păstrezi În lungimi, AB înseamnă lungimea segmentului [AB]; în desen, parantezele arată obiectul geometric.

1. Cauți capetele sau săgețile obiectului.
2. Citești prima literă a semidreptei ca origine.
3. Separi obiectul geometric [AB] de numărul AB care îi măsoară lungimea.

Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă aparțin aceleiași drepte. Ordinea adaugă o informație nouă: dacă B este între A și C, atunci B aparține segmentului [AC]. Un punct poate aparține dreptei (AC), dar să nu fie pe segmentul [AC].

Relația pe care o păstrezi Coliniaritatea spune «aceeași dreaptă»; expresia «B este între A și C» fixează și ordinea.

1. Identifici dreapta pe care se află punctele.
2. Citești ordinea dată în enunț, nu ordinea literelor din alfabet.
3. Marchezi separat orice punct aflat în exteriorul segmentului.

Dacă B aparține segmentului [AC], segmentul mare [AC] este alcătuit fără suprapunere din [AB] și [BC]. De aceea lungimile se adună: AC = AB + BC. Relația poate fi folosită și invers, prin scădere, pentru a afla o parte necunoscută.

Relația pe care o păstrezi Întreg = parte + parte, dar numai după ce ai stabilit punctul aflat între celelalte două.

1. Scrii ordinea punctelor pe o linie simplă.
2. Încercuiești segmentul întreg cerut.
3. Aduni părțile sau scazi partea cunoscută din întreg.

M este mijlocul segmentului [AB] dacă M aparține segmentului și segmentele [AM] și [MB] sunt congruente. Atunci AM = MB = AB : 2. Egalitatea lungimilor fără apartenență nu este suficientă.

Relația pe care o păstrezi Pentru mijloc verifici două condiții: M ∈ [AB] și AM = MB.

1. Confirmi că M se află între A și B.
2. Folosești marcajele egale sau informația AM = MB.
3. Înlocuiești fiecare jumătate cu AB : 2.

Punctul A′ este simetricul lui A față de O dacă A, O și A′ sunt coliniare, O se află între A și A′, iar OA = OA′. Cu alte cuvinte, O este mijlocul segmentului [AA′].

Relația pe care o păstrezi Simetria față de un punct păstrează distanța până la centru și schimbă direcția.

1. Trasezi dreapta AO.
2. Continui dincolo de O, în direcția opusă lui A.
3. Așezi A′ astfel încât OA′ = OA.

Unghiul AOB este format de semidreptele [OA) și [OB), care au originea comună O. În notația cu trei litere, litera vârfului se scrie în mijloc. Măsura se notează m(∠AOB) și se exprimă în grade; un grad are 60 de minute: 1° = 60′.

Relația pe care o păstrezi În ∠ABC, vârful este B, iar laturile sunt semidreptele [BA) și [BC).

1. Localizezi originea comună a celor două semidrepte.
2. Pui litera vârfului în mijlocul numelui.
3. Scrii simbolul ° pentru grade și ′ pentru minute.

Unghiul nul are 0°, unghiul ascuțit are măsura între 0° și 90°, unghiul drept are 90°, unghiul obtuz are măsura între 90° și 180°, iar unghiul alungit are 180°. O rotație întreagă formează un unghi complet de 360°. În probleme folosești mai ales două reguli: suma unghiurilor formate în jurul unui punct și de aceeași parte a unei drepte este 180°, iar suma unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°.

Relația pe care o păstrezi Clasifici un singur unghi după măsură; când mai multe unghiuri acoperă un semiplan sau o rotație întreagă, folosești suma 180°, respectiv 360°.

1. Citești măsura dată sau demonstrată.
2. Pentru un singur unghi, compari cu reperele 0°, 90° și 180°.
3. Pentru mai multe unghiuri, verifici dacă sunt de aceeași parte a unei drepte sau dacă acoperă tot planul în jurul punctului.

Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Două unghiuri complementare au suma măsurilor de 90°, iar două unghiuri suplementare au suma de 180°. Unghiurile adiacente au același vârf, o latură comună și interioare care nu se suprapun. Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri congruente.

Relația pe care o păstrezi Cauți mai întâi relația: egalitate, sumă de 90°, sumă de 180° sau împărțire în două.

1. Identifici perechea și numești relația dintre unghiuri.
2. Scrii egalitatea sau suma înaintea calculului.
3. Verifici dacă măsurile refac unghiul inițial sau rotația completă de 360°.

Două drepte distincte din același plan sunt secante dacă au un singur punct comun și paralele dacă nu au niciun punct comun. Dreptele concurente trec prin același punct. Dreptele perpendiculare sunt drepte secante care formează un unghi drept.

Relația pe care o păstrezi Perpendicularitatea implică intersecție și unghi de 90°; paralelismul exclude orice punct comun.

1. Cauți punctul de intersecție sau marcajul de paralelism.
2. Pentru perpendicularitate, verifici pătrățelul ori măsura de 90°.
3. Scrii relația cu simbolul potrivit: ∥, ⟂, ∈ sau ∉.

Când două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, unghiurile corespondente sunt congruente, la fel și unghiurile alterne interne. Unghiurile interne aflate de aceeași parte a secantei sunt suplementare. Aceste relații pot fi folosite și drept criterii pentru a demonstra că două drepte sunt paralele.

Relația pe care o păstrezi Mai întâi numești perechea de unghiuri; abia apoi alegi egalitatea sau suma de 180°.

1. Marchezi cele două drepte paralele și secanta.
2. Identifici poziția perechii cerute: corespondente, alterne interne sau interne de aceeași parte.
3. Scrii relația și calculezi fără raportor.