Capcana „diagonale egale”
O proprietate comună nu dovedește singură familia.
Dreptunghiul și trapezul isoscel au diagonalele egale. De aceea, din AC = BD nu poți concluziona direct că un patrulater este dreptunghi.
Clasa a VII-a · Sala celor patru laturi
Patrulatere în probleme
Un desen poate părea dreptunghi, romb sau trapez. Demonstrația nu pornește însă de la aparență, ci de la paralele, egalități, unghiuri și diagonale.
Citești datele → recunoști familia → alegi proprietatea → verifici concluzia.
Criteriul este o cheie
Nu întrebi „cu ce seamănă?”, ci „ce demonstrează datele?”.
Selectează un indiciu. Fiecare concluzie folosește toate condițiile scrise, nu o proprietate aleasă după aspectul figurii.
Diagonalele sunt indicii, nu etichete
Aceeași proprietate poate apărea în familii diferite.
Semnul ✓ înseamnă „întotdeauna”. Linia — înseamnă că proprietatea nu este garantată pentru întreaga familie.
Figura Se înjumătățesc Sunt egale Sunt perpendiculare
Paralelogram ✓ — —
Dreptunghi ✓ ✓ —
Romb ✓ — ✓
Pătrat ✓ ✓ ✓
Trapez isoscel — ✓ —
Bazele conduc calculul
Linia mijlocie transformă două baze într-o singură lungime.
Dacă M și N sunt mijloacele laturilor neparalele, atunci MN este paralelă cu bazele și are lungimea semisumei lor.
m = (B + b)/2
MN = (17 + 9)/2 = 13 cm.
A = (B + b) · h/2
A = (17 + 9) · 10/2 = 130 cm².
A = m · h
A = 13 · 10 = 130 cm².
O demonstrație scurtă are două trepte
Stabilești familia, apoi o specializezi.
Nu enumera toate proprietățile pe care le știi. Alege criteriul care folosește exact datele problemei.
Paralelogram + un unghi drept
Întâi arăți că laturile opuse sunt paralele; apoi folosești unghiul de 90°.
Paralelogram + laturi alăturate egale
Egalitățile laturilor opuse se leagă de egalitatea unei perechi alăturate.
Dreptunghi + laturi alăturate egale
Dreptunghiul aduce unghiurile drepte; egalitatea aduce toate laturile egale.
Când NU merge?
Oprește concluzia dacă lipsește treapta de bază.
- Diagonalele egale nu demonstrează singure un dreptunghi. Și trapezul isoscel are diagonalele egale.
- Diagonalele perpendiculare nu demonstrează singure un romb. Un deltoid poate avea aceeași proprietate.
- Un unghi care pare drept nu este o ipoteză. Ai nevoie de măsura de 90° sau de o perpendicularitate dată ori demonstrată.
- Latura oblică a trapezului nu este înălțimea. Înălțimea este perpendiculară pe dreptele bazelor.
- O proprietate directă nu poate fi inversată automat. Din „dreptunghi ⇒ diagonale egale” nu rezultă, fără condiții în plus, „diagonale egale ⇒ dreptunghi”.
De la proprietate la justificare
Nu memorezi o listă. Alegi relația care deschide problema.
Cele trei trasee schimbă numărul de legături, nu valoarea celui care lucrează. Poți reveni oricând la figurile de mai sus.
Aplici direct o proprietate după ce ai numit corect patrulaterul.
0 / 3 rezolvate
Unghiuri alăturate
ParalelogramÎn paralelogramul ABCD, m(∠A) = 68°. Măsura unghiului B este:
Arată un indiciu
Scrie m(∠A) + m(∠B) = 180°.
m(∠B) = 180° − 68° = 112°.
Jumătatea diagonalei
DreptunghiDiagonalele dreptunghiului ABCD se intersectează în O. Dacă AC = 14 cm, atunci OB este:
Arată un indiciu
Leagă AC = BD de OB = BD/2.
BD = AC = 14 cm, iar OB = 14 : 2 = 7 cm.
Aria din diagonale
RombDiagonalele unui romb au lungimile de 12 cm și 16 cm. Aria rombului este:
Arată un indiciu
Folosește A = d₁ · d₂ / 2.
A = 12 · 16 / 2 = 96 cm².
Unești proprietatea figurii cu o formulă sau cu teorema lui Pitagora.
0 / 3 rezolvate
Linia mijlocie a trapezului
Medie aritmeticăUn trapez are bazele de 9 cm și 17 cm. Lungimea liniei mijlocii este:
Arată un indiciu
Linia mijlocie este media aritmetică a bazelor.
m = (9 + 17)/2 = 13 cm.
Perimetrul păstrează perechile
ParalelogramDouă laturi alăturate ale unui paralelogram au lungimile de 7 cm și 5 cm. Perimetrul este:
Arată un indiciu
Scrie mai întâi șirul lungimilor celor patru laturi.
P = 7 + 5 + 7 + 5 = 24 cm.
Diagonala dreptunghiului
Dreptunghi și PitagoraUn dreptunghi are laturile de 6 cm și 8 cm. Lungimea unei diagonale este:
Arată un indiciu
Diagonala, lungimea și lățimea formează un triunghi dreptunghic.
d = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm.
Citești datele în ordinea enunțului și alegi concluzia justificată, nu figura care doar seamănă.
0 / 3 rezolvate
Un criteriu suficient
În figura alăturată…În patrulaterul ABCD se cunosc AB ∥ CD și AB = CD. Care concluzie este justificată?
Arată un indiciu
Caută un criteriu care folosește exact aceeași pereche AB și CD.
Din AB ∥ CD și AB = CD rezultă, prin criteriul corespunzător, că ABCD este paralelogram.
Unghiurile trapezului isoscel
Două proprietăți legateABCD este trapez isoscel, cu AB ∥ CD și m(∠A) = 64°. Măsura unghiului C este:
Arată un indiciu
Leagă ∠A = ∠B de ∠B + ∠C = 180°.
m(∠C) = 180° − 64° = 116°.
Ce spun diagonalele
Condiția înaintea concluzieiABCD este paralelogram, iar diagonalele sale sunt perpendiculare. Rezultă că ABCD este:
Arată un indiciu
Pornește de la cuvântul «paralelogram»; el este o condiție esențială.
Paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb. Datele nu obligă unghiurile să fie drepte.
În stil de Subiectul III · a) 2 p + b) 3 p
Diagonalele deschid drumul spre înălțime.
Rombul ABCD are diagonalele AC = 16 cm și BD = 12 cm. Diagonalele se intersectează în punctul O. Din D se duce perpendiculara DH pe latura AB, cu H ∈ AB.
- Arată că AB = 10 cm.
- Calculează lungimea înălțimii DH.
Am nevoie de un indiciu
Pentru a), folosește jumătățile diagonalelor în triunghiul AOB. Pentru b), calculează aceeași arie în două moduri.
Un drum complet posibil
- Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Prin urmare, AO = AC : 2 = 8 cm și BO = BD : 2 = 6 cm.
- Triunghiul AOB este dreptunghic în O. Din teorema lui Pitagora: AB² = AO² + BO² = 8² + 6² = 100, deci AB = 10 cm.
- Aria rombului calculată cu diagonalele este A = AC · BD / 2 = 16 · 12 / 2 = 96 cm².
- Segmentul [DH] este înălțimea corespunzătoare bazei [AB], deci aceeași arie este A = AB · DH.
- Rezultă 96 = 10 · DH, de unde DH = 9,6 cm.
- Verificare: în figura proporțională, jumătățile diagonalelor sunt 8 și 6, latura este 10, iar înălțimea trebuie să fie mai mică decât latura; 9,6 cm respectă această ordine.
Din patru laturi spre proporții
O paralelă poate împărți figura în lungimi proporționale.
După ce recunoști laturile paralele ale unui patrulater, Teorema lui Thales te ajută să urmărești rapoarte în triunghiurile ascunse în desen.