Unghi la centru și unghi înscris
120° în centru devin 60° pe cerc.
Unghiurile AOB și ACB subîntind același arc mic AB. Vârful O este în centru; vârful C se află pe cerc.
Clasa a VII-a · Rotonda peșterii
Cercul în probleme
Într-un cerc, poziția spune aproape totul. Centrul, capetele unei coarde și punctul de tangență transformă un desen rotund în unghiuri, triunghiuri și relații exacte.
Identifici elementul → urmărești arcul → alegi proprietatea → verifici figura.
Prima citire a figurii
Aceleași puncte pot numi obiecte diferite.
Selectează un element. Figura rămâne aceeași, dar se schimbă partea pe care trebuie să o urmărești și întrebarea prin care o recunoști.
Arcul este legătura
Același arc este văzut din două locuri.
Nu compara unghiurile numai fiindcă apar în același cerc. Relația de două ori–jumătate este valabilă când ele subîntind același arc.
Unghi înscris într-un semicerc
Diametrul se vede sub 90°.
Dacă [PQ] este diametru și R este pe cerc, arcul PQ opus lui R este un semicerc de 180°. Unghiul PRQ măsoară 90°.
La centrum(∠AOB) = m(arcului mic AB)
Pe cercm(∠ACB) = 1/2 · m(arcului mic AB)
Pe diametrum(∠PRQ) = 90°
Trei construcții care revin
Cercul ascunde triunghiuri și unghiuri suplimentare.
Punctul de tangență, perpendiculara pe coardă și cele patru vârfuri aflate pe cerc sunt indicii. Din ele se nasc calculele.
01 · Tangentă
Raza și tangenta sunt perpendiculare.
La punctul de tangență T, OT ⟂ t. Apare imediat un triunghi dreptunghic.
OT ⟂ t 02 · Coardă
Perpendiculara din centru înjumătățește coarda.
Dacă OM ⟂ AB, atunci M este mijlocul corzii [AB].
AM = MB 03 · Patrulater înscris
Unghiurile opuse sunt suplimentare.
Condiția este ca toate cele patru vârfuri să se afle pe același cerc.
m(∠A) + m(∠C) = 180°Înainte să accepți rezultatul
Desenul sugerează. Datele justifică.
O figură de examen este o hartă, nu o riglă. Marcajele și enunțul dau proprietățile; aspectul desenului te ajută numai să le găsești.
Verifică arcul
Unghiul la centru și cel înscris trebuie să aibă capetele laturilor în aceleași două puncte ale cercului.
Verifică ordinea lungimilor
Diametrul este cea mai lungă coardă. O coardă care nu trece prin centru trebuie să fie mai scurtă decât diametrul.
Verifică suma unghiurilor
Într-un patrulater înscris, fiecare pereche de unghiuri opuse are suma de 180°; toate patru au împreună 360°.
Când NU merge?
Oprește formula dacă lipsește condiția.
- O dreaptă doar pare tangentă. Fără tangență dată sau demonstrată, nu poți afirma că raza este perpendiculară pe ea.
- O coardă doar pare diametru. Trebuie să știi că trece prin centru; faptul că pare lungă nu este suficient.
- Unghiurile văd arce diferite. Relația de două ori–jumătate cere același arc, nu doar același cerc.
- Un vârf nu este pe cerc. Formula unghiului înscris și regula patrulaterului înscris nu se aplică dacă lipsește această condiție.
- Confunzi arcul mic cu arcul mare. Numește arcul sau verifică pe care dintre ele îl subîntinde unghiul.
De la reper la proprietate
Întâi justifici, apoi calculezi.
Cele trei trasee schimbă numărul de legături, nu valoarea celui care lucrează. Poți începe de oriunde și poți reveni la explicații.
Recunoști elementul și aplici direct proprietatea care îl definește.
0 / 3 rezolvate
Două raze formează diametrul
Rază și diametruUn cerc are raza de 7 cm. Lungimea unui diametru este:
Arată un indiciu
Scrie mai întâi relația d = 2r.
d = 2r = 2 · 7 = 14 cm.
Același arc înjumătățește unghiul
Unghi la centru și unghi înscrisUnghiul la centru AOB are măsura de 100°, iar unghiul înscris ACB subîntinde același arc mic AB. Măsura unghiului ACB este:
Arată un indiciu
Pentru același arc: m(∠ACB) = 1/2 · m(∠AOB).
m(∠ACB) = 100°/2 = 50°.
Diametrul se vede sub un unghi drept
Unghi înscris într-un semicerc[AB] este diametrul unui cerc, iar C este un alt punct al cercului. Măsura unghiului ACB este:
Arată un indiciu
Diametrul separă cercul în două arce de câte 180°.
m(∠ACB) = 180°/2 = 90°.
Legi cercul de perpendicularitate, Pitagora și unghiurile patrulaterului.
0 / 3 rezolvate
Tangenta formează un triunghi dreptunghic
Tangentă și PitagoraDin punctul exterior P se duce tangenta PA la cercul cu centrul O. Dacă OP = 13 cm și OA = 5 cm, atunci PA este:
Arată un indiciu
Raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.
OA ⟂ PA, deci PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 144 și PA = 12 cm.
Unghiurile opuse închid patrulaterul
Patrulater înscrisPatrulaterul ABCD este înscris într-un cerc și m(∠A) = 112°. Măsura unghiului C este:
Arată un indiciu
A și C sunt vârfuri opuse.
m(∠C) = 180° − 112° = 68°.
Perpendiculara înjumătățește coarda
Coardă și PitagoraÎn cercul cu centrul O și raza de 10 cm, OM ⟂ AB, M ∈ [AB] și OM = 6 cm. Lungimea corzii AB este:
Arată un indiciu
OM ⟂ AB implică AM = MB. Calculează mai întâi AM în △OMA.
AM² = OA² − OM² = 100 − 36 = 64, deci AM = 8 cm. Prin urmare, AB = 2 · 8 = 16 cm.
Selectezi proprietatea ascunsă în formularea unei cerințe scurte.
0 / 3 rezolvate
Diametrul deschide drumul spre Pitagora
Calcul de lungimeÎn cercul din figura alăturată, [AB] este diametru, AB = 10 cm, C aparține cercului și AC = 6 cm. Lungimea BC este:
Arată un indiciu
Mai întâi justifică de ce ∠ACB este drept.
[AB] este diametru, deci ∠ACB = 90°. Din Pitagora, BC = √(10² − 6²) = 8 cm.
Două unghiuri văd același arc
Măsura unui unghiUnghiul înscris ACB are măsura de 37° și subîntinde arcul mic AB. Măsura unghiului la centru AOB care subîntinde același arc este:
Arată un indiciu
Pentru același arc, unghiul la centru este de două ori unghiul înscris.
m(∠AOB) = 2 · m(∠ACB) = 2 · 37° = 74°.
Unghiul exterior repetă unghiul opus
Patrulater înscrisABCD este un patrulater înscris, m(∠A) = 72°, iar latura BC este prelungită dincolo de C. Unghiul exterior adiacent unghiului C are măsura:
Arată un indiciu
Într-un patrulater înscris, un unghi exterior este egal cu unghiul interior opus.
Unghiurile A și C sunt suplimentare, iar unghiul exterior în C este suplimentarul lui C. Prin urmare, el este egal cu ∠A și măsoară 72°.
În stil de Subiectul III · a) 2 p + b) 3 p
Un diametru, două triunghiuri dreptunghice.
În cercul cu centrul O, [AB] este diametru și AB = 10 cm. Punctele C și D aparțin cercului și se află în semiplane diferite față de dreapta AB. Se cunosc AC = 6 cm și AD = 8 cm.
- Arată că BC = 8 cm.
- Calculează aria patrulaterului ACBD.
Am nevoie de un indiciu
Diametrul AB produce câte un unghi drept în C și D. Diagonala [AB] împarte patrulaterul în două triunghiuri.
O rezolvare completă posibilă
- Deoarece [AB] este diametru și C aparține cercului, unghiul ACB este drept.
- În △ACB, teorema lui Pitagora dă BC² = AB² − AC² = 10² − 6² = 64, deci BC = 8 cm.
- Deoarece [AB] este diametru și D aparține cercului, unghiul ADB este drept.
- În △ADB, avem DB² = AB² − AD² = 10² − 8² = 36, deci DB = 6 cm.
- Diagonala [AB] împarte patrulaterul ACBD în triunghiurile dreptunghice ACB și ADB.
- Aria primului triunghi este A△ACB = AC · BC/2 = 6 · 8/2 = 24 cm².
- Aria celui de-al doilea triunghi este A△ADB = AD · DB/2 = 8 · 6/2 = 24 cm².
- Prin urmare, aria patrulaterului ACBD este 24 + 24 = 48 cm².
- Verificare: ambele triunghiuri au ipotenuza de 10 cm și catetele de 6 cm și 8 cm.
Din cerc spre clasa a VIII-a
Triunghiul dreptunghic continuă drumul.
Diametrul a produs unghiul drept. În lumea cerului, o înălțime dusă pe ipotenuză va împărți triunghiul în alte două triunghiuri asemenea.