∠A și ∠D sunt drepte, iar unghiul B este comun. Criteriul este U.U.
Clasa a VIII-a · Constelația celor trei triunghiuri
Relații metrice în triunghiul dreptunghic
O singură înălțime împarte triunghiul dreptunghic în alte două triunghiuri, toate asemenea. Din această asemănare se nasc relațiile dintre catete, ipotenuză, înălțime și proiecții.
Unghi drept → înălțime pe ipotenuză → triunghiuri asemenea → relații metrice.
Figura de bază
O înălțime descoperă trei triunghiuri asemenea.
În △ABC, unghiul A este drept, iar AD este înălțimea dusă pe ipotenuza [BC]. Punctul D împarte ipotenuza în proiecțiile [BD] și [DC].
Ordinea unghiurilor corespunzătoare △ABC ∼ △DBA ∼ △DAC
Litera care ocupă aceeași poziție arată unghiurile corespondente: A, D, D sunt unghiurile drepte.
∠A și ∠D sunt drepte, iar unghiul C este comun. Din nou folosim U.U.
Ambele sunt asemenea cu triunghiul mare, deci sunt asemenea și între ele.
Patru relații, patru întrebări
Alegi formula după segmentul necunoscut.
Nu ai nevoie să scrii toate formulele de fiecare dată. Numești necunoscuta și cauți relația în care celelalte segmente sunt date sau pot fi aflate imediat.
Pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză.
Din △ABC ∼ △DBA: AB/BC = BD/AB.Cateta [AC] se potrivește cu proiecția [DC]. Capătul comun C te ajută să nu le încurci.
Din △ABC ∼ △DAC: AC/BC = DC/AC.Înălțimea pe ipotenuză este media geometrică a celor două proiecții.
Din △ABD ∼ △CAD: BD/AD = AD/DC.Scrii aria cu cele două catete, apoi cu ipotenuza și înălțimea dusă pe ea.
AB · AC/2 = BC · AD/2.O configurație care se verifică singură
Din 9 și 16 apare familia 12–15–20–25.
Dacă BD = 9 și DC = 16, atunci BC = 25. Fiecare relație produce un pătrat perfect, iar rezultatele se confirmă prin Pitagora și prin arie.
IpotenuzăBC = 9 + 16 = 25
ÎnălțimeAD = √(9 · 16) = 12
Cateta ABAB = √(9 · 25) = 15
Cateta ACAC = √(16 · 25) = 20
Înainte să accepți rezultatul
Trei verificări prind cele mai multe greșeli.
Relațiile metrice se sprijină una pe alta. Un rezultat corect se potrivește cu ordinea segmentelor, cu Pitagora și cu aria.
Compari lungimile
Catetele sunt mai mici decât ipotenuza. Proiecțiile sunt părți ale ipotenuzei, deci BD < BC și DC < BC.
Aplici Pitagora
După ce ai găsit catetele, verifici AB² + AC² = BC². Pentru 15–20–25: 225 + 400 = 625.
Calculezi aria în două feluri
AB · AC/2 trebuie să fie egal cu BC · AD/2. În exemplu, ambele dau 150.
De la segment la relația potrivită
Citești întâi figura, apoi calculezi.
Cele trei trasee schimbă formularea, nu valoarea Elevului. Poți începe de oriunde și poți reveni la explicații oricând.
Numești segmentele și alegi relația care folosește exact datele primite.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC, D ∈ [BC], BD = 9 cm și DC = 16 cm. Lungimea ipotenuzei BC este:
Arată un indiciu
D se află între B și C: [BC] este reuniunea segmentelor [BD] și [DC].
Rezolvare
Deoarece D ∈ [BC], avem BC = BD + DC. Prin urmare, BC = 9 + 16 = 25 cm.
În aceeași configurație, dacă BD = 9 cm și DC = 16 cm, atunci înălțimea AD are lungimea:
Arată un indiciu
Scrie AD² = BD · DC și nu uita că se cere AD, nu AD².
Rezolvare
Teorema înălțimii dă AD² = BD · DC. Înlocuim: AD² = 9 · 16 = 144. Lungimile sunt pozitive, deci AD = 12 cm.
În triunghiul ABC dreptunghic în A, înălțimea AD este dusă pe ipotenuza [BC]. Proiecția catetei [AB] pe ipotenuză este:
Arată un indiciu
B este deja pe [BC], iar piciorul perpendicularei din A este D.
Rezolvare
La proiecție, punctul B rămâne B, deoarece aparține ipotenuzei, iar A ajunge în D. Așadar proiecția segmentului [AB] pe [BC] este [BD].
Legi relațiile metrice de asemănare, Pitagora și formula ariei.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC. Dacă BD = 4 cm și BC = 9 cm, atunci AB este:
Arată un indiciu
Cateta [AB] se potrivește cu proiecția ei [BD].
Rezolvare
Teorema catetei dă AB² = BD · BC. Astfel AB² = 4 · 9 = 36. Deoarece AB > 0, rezultă AB = 6 cm.
Un triunghi dreptunghic are catetele AB = 15 cm, AC = 20 cm și ipotenuza BC = 25 cm. Înălțimea AD dusă pe ipotenuză este:
Arată un indiciu
Scrie aria o dată cu cele două catete și o dată cu ipotenuza și înălțimea ei.
Rezolvare
A△ABC = AB · AC/2 = BC · AD/2. Egalând, obținem AB · AC = BC · AD. Atunci 15 · 20 = 25 · AD, deci AD = 300/25 = 12 cm.
În configurația metrică a triunghiului ABC dreptunghic în A, care relație calculează direct cateta AC?
Arată un indiciu
Capătul C îți arată proiecția care aparține catetei AC.
Rezolvare
Cateta [AC] și proiecția ei [DC] au capătul C comun. Teorema catetei se scrie AC² = DC · BC.
Citești figura, compari răspunsuri și justifici o afirmație prin relația potrivită.
0 / 3 rezolvate
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC, BD = 5 cm și DC = 20 cm. Lungimea segmentului AD este:
Arată un indiciu
Când apar numai BD, DC și AD, teorema înălțimii este drumul direct.
Rezolvare
Aplicăm teorema înălțimii: AD² = BD · DC = 5 · 20 = 100. Cum AD este o lungime, AD = 10 cm.
Pentru BD = 9 cm și DC = 16 cm, patru elevi au calculat perimetrul triunghiului ABC. Cine a răspuns corect?
Arată un indiciu
Află BC, apoi fiecare catetă prin proiecția ei.
Rezolvare
BC = 9 + 16 = 25 cm. Teorema catetei dă AB² = 9 · 25 = 225, deci AB = 15 cm, și AC² = 16 · 25 = 400, deci AC = 20 cm. Perimetrul este 15 + 20 + 25 = 60 cm; Mara a răspuns corect.
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC, BC = 25 cm și AB = 15 cm. Afirmația „DC = 16 cm” este:
Arată un indiciu
Calculează mai întâi proiecția BD din AB² = BD · BC.
Rezolvare
Din teorema catetei, AB² = BD · BC. Astfel 15² = BD · 25, deci BD = 225/25 = 9 cm. Cum BC = BD + DC, rezultă DC = 25 − 9 = 16 cm. Afirmația este adevărată.
În stil de Subiectul III · a) 2 p + b) 3 p
Din două proiecții reconstruiești triunghiul.
În triunghiul ABC dreptunghic în A, înălțimea AD este perpendiculară pe ipotenuza BC, D ∈ [BC]. Se cunosc BD = 9 cm și DC = 16 cm.
- Arată că AD = 12 cm.
- Determină perimetrul triunghiului ABC.
Am nevoie de un indiciu
Pentru a), folosește produsul proiecțiilor. Pentru b), află mai întâi BC, apoi fiecare catetă cu proiecția ei.
O rezolvare completă posibilă
- Avem △ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC și D ∈ [BC], deci putem folosi relațiile metrice în triunghiul dreptunghic.
- Din D ∈ [BC], obținem BC = BD + DC = 9 + 16 = 25 cm.
- Pentru a), teorema înălțimii dă AD² = BD · DC = 9 · 16 = 144. Deoarece AD > 0, rezultă AD = 12 cm.
- Pentru b), aplicăm teorema catetei: AB² = BD · BC = 9 · 25 = 225, deci AB = 15 cm.
- Pentru cealaltă catetă: AC² = DC · BC = 16 · 25 = 400, deci AC = 20 cm.
- Perimetrul este P△ABC = AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 cm.
- Verificare prin Pitagora: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².
- Verificare prin arie: 15 · 20/2 = 150 cm² și 25 · 12/2 = 150 cm².
- Răspuns: AD = 12 cm, iar perimetrul triunghiului ABC este 60 cm.
Din lungimi spre unghiuri
Aceleași laturi pot fi citite printr-un unghi.
Relațiile metrice folosesc proiecțiile. Rapoartele trigonometrice pornesc de la un unghi ascuțit și compară direct catetele cu ipotenuza.