Cateta opusă: [AB]
Nu atinge vârful C.
Clasa a VIII-a · observatorul unghiurilor
Rapoarte trigonometrice
Un unghi ascuțit fixează raportul dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Triunghiul poate crește sau se poate micșora; raportul rămâne același.
Începi întotdeauna cu unghiul. Apoi numești cateta opusă, cateta alăturată și ipotenuza.
01 · Orientarea în triunghi
Unghiul hotărăște numele catetelor.
Ipotenuza rămâne mereu latura opusă unghiului drept. Catetele își schimbă însă numele când schimbi unghiul ascuțit privit.
Cateta alăturată: [AC]
Atinge vârful C, dar nu este ipotenuza.
Ipotenuza: [BC]
Este cea mai lungă latură.
02 · Cele patru rapoarte
Aceleași trei laturi, patru comparații.
Formulele se scriu numai după ce ai fixat unghiul. Pentru unghiul α din desen, valorile sunt 3/5, 4/5, 3/4 și 4/3.
cateta opusă ipotenuză
cateta alăturată ipotenuză
cateta opusă cateta alăturată
cateta alăturată cateta opusă
Verifică cele două rapoarte care folosesc ipotenuza.
Împărțirea elimină ipotenuza și lasă raportul catetelor.
Valabil pentru orice unghi ascuțit α.
03 · Unghiuri notabile
Trei coloane pe care le poți reconstrui.
Valorile provin din triunghiul dreptunghic isoscel și din jumătatea unui triunghi echilateral. Nu sunt numere de memorat fără sens.
| α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Sinusul crește: 1/2, √2/2, √3/2.
Cosinusul citește invers: √3/2, √2/2, 1/2.
La 45°: catetele sunt egale, deci sin = cos și tg = ctg = 1.
04 · Alegerea formulei
Cunoști două dintre cele trei locuri.
Încercuiești latura cunoscută și latura căutată. Alegi raportul care le conține pe amândouă; a treia latură nu intră în calcul.
BC = 20 cm, ∠C = 30°. Află AB.
[AB] este opusă lui C, iar [BC] este ipotenuza. Alegem sinusul.
- 1
Scrii raportul: sin C = AB/BC.
- 2
Înlocuiești: sin 30° = AB/20.
- 3
Calculezi: 1/2 = AB/20, deci AB = 10 cm.
- 4
Verifici: 10 cm < 20 cm, cum trebuie pentru o catetă.
05 · Antrenament progresiv
De la numirea laturilor la o problemă completă.
0 din 6 exerciții rezolvate
În △ABC dreptunghic în A, AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. Pentru unghiul C, sin C este:
Am nevoie de un indiciu
Față de C, cateta opusă este [AB], iar ipotenuza este [BC].
În același triunghi, pentru unghiul B, cos B este:
Am nevoie de un indiciu
Față de B, cateta alăturată este [AB].
Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 3/4, iar cateta alăturată unghiului α are 12 cm. Cateta opusă are:
Am nevoie de un indiciu
Scrie x/12 = 3/4.
Dacă sin α = 5/13 și ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 26 cm, cateta opusă unghiului α măsoară:
Am nevoie de un indiciu
Raportul 5/13 devine x/26.
O scară de 10 m formează un unghi de 60° cu solul. Înălțimea la care ajunge capătul scării este:
Am nevoie de un indiciu
Scara este ipotenuza, iar înălțimea este cateta opusă unghiului de 60°.
În △ABC dreptunghic în A se știe că cos B = 12/13 și BC = 26 cm. Aria triunghiului este:
Am nevoie de un indiciu
Află AB din cos B, apoi AC prin Pitagora sau prin raportul 5–12–13.
În stil de Subiectul III · rezolvare scrisă
Triunghiul care se verifică singur
În triunghiul ABC dreptunghic în A se cunosc ∠B = 60° și AC = 9√3 cm.
- Calculează lungimea catetei AB.
- Calculează lungimea ipotenuzei BC.
- Determină aria triunghiului ABC.
Compară cu o rezolvare completă
- În △ABC dreptunghic în A, unghiul B este de 60°, deci unghiul C este de 30°.
- Față de unghiul B, cateta opusă este [AC], iar cateta alăturată este [AB].
- Folosim tg B = AC/AB. Cum tg 60° = √3, obținem √3 = 9√3/AB, deci AB = 9 cm.
- Folosim sin B = AC/BC. Din √3/2 = 9√3/BC rezultă BC = 18 cm.
- Verificare prin Pitagora: 9² + (9√3)² = 81 + 243 = 324 = 18².
- Aria este A = AB · AC/2 = 9 · 9√3/2 = 81√3/2 cm².