În stil de Subiectul I
Calcul algebric
Forma simplificată a expresiei (x − 3)² − (x + 3)(x − 3) este:
Clasa a VIII-a · recapitulare mixtă
Expediția cerului
De aici vezi legăturile dintre lumi. O expresie fixează relații, o funcție descrie o mișcare, un unghi compară laturile unui triunghi, iar geometria în spațiu transformă desenul într-o construcție completă.
Misiunea ta: să alegi, să legi și să justifici fără să pierzi condițiile, unitățile sau sensul rezultatului final.
Subiectul I · 6 exerciții
Vezi reperul. Alegi drumul scurt și sigur.
Cerințele schimbă rapid limbajul: expresie, interval, punct, segment, dreaptă sau diagonală. Nu aplica o formulă înainte să identifici obiectul.
În stil de Subiectul I
Înălțimea pe ipotenuză
În △ABC dreptunghic în A, AD ⟂ BC, D ∈ [BC], BD = 4 cm și DC = 9 cm. Lungimea înălțimii AD este:
În stil de Subiectul I
Inecuație de gradul I
Mulțimea soluțiilor inecuației 3x − 5 ≤ 10 este:
În stil de Subiectul I
Intersecția cu axa Ox
Graficul funcției f(x) = −2x + 6 intersectează axa Ox în punctul:
În stil de Subiectul I
Sinusul unui unghi ascuțit
În △ABC dreptunghic în A, ∠B = 30° și BC = 18 cm. Lungimea catetei AC este:
În stil de Subiectul I
Diagonala paralelipipedului
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 3 cm, 4 cm și 12 cm. Diagonala lui este:
Subiectul II · 4 exerciții
O afirmație corectă rezistă din orice direcție.
Urmărește proiecția, semnul, punctul sau diagonala cerută. Un singur contraexemplu este suficient pentru fals.
01
Cateta și proiecția ei
În △ABC dreptunghic în A, cu AD ⟂ BC și D ∈ [BC], egalitatea AC² = BD · BC este adevărată.
02
Sensul inegalității
Dacă x > −3, atunci −2x < 6.
03
Apartenența la grafic
Punctul P(2, 5) aparține graficului funcției f(x) = 2x + 1.
04
Diagonala cubului
Diagonala unui cub cu muchia a are lungimea a√2.
Subiectul III · rezolvare completă
Misiunea Observatorului Zenith
Algebra fixează baza, funcția urmărește drona, iar geometria verifică întreaga construcție în spațiu.
Clădirea unui observator are forma unui paralelipiped dreptunghic cu înălțimea de 24 m. Baza are lățimea x metri, lungimea cu 2 m mai mare decât lățimea și aria de 48 m².
O dronă pornește de la nivelul solului și urcă vertical cu viteză constantă. După t minute, înălțimea ei este f(t) = 3t metri, pentru t ∈ [0, 8]. Observațiile sunt sigure când drona se află între 9 m și 21 m, inclusiv.
- Determină dimensiunile bazei și volumul clădirii observatorului.
- Calculează diagonala spațială a observatorului.
- Află după cât timp drona ajunge la nivelul acoperișului și intervalul de timp în care observațiile sunt sigure.
Am nevoie de un indiciu
Tradu aria prin x(x + 2) = 48 și păstrează numai soluția pozitivă. Pentru diagonală folosește toate cele trei dimensiuni. Pe grafic, banda sigură înseamnă 9 ≤ 3t ≤ 21.
Un drum complet posibil
- Notăm cu x lățimea bazei. Lungimea este x + 2, iar aria bazei este 48 m², deci x(x + 2) = 48.
- Obținem x² + 2x − 48 = 0, adică (x − 6)(x + 8) = 0. Soluțiile sunt 6 și −8, dar o lungime este pozitivă, deci x = 6 m și x + 2 = 8 m.
- Volumul observatorului este V = 6 · 8 · 24 = 1 152 m³.
- Diagonala spațială d unește două vârfuri opuse: d² = 6² + 8² + 24² = 36 + 64 + 576 = 676, deci d = 26 m.
- Înălțimea dronei este f(t) = 3t. Acoperișul se află la 24 m, deci 3t = 24 și drona ajunge la nivelul lui pentru t = 8 minute.
- Intervalul sigur cere 9 ≤ f(t) ≤ 21, așadar 9 ≤ 3t ≤ 21. Împărțim la 3 și obținem 3 ≤ t ≤ 7.
- Pe grafic, intervalul sigur este porțiunea dreptei dintre punctele (3, 9) și (7, 21). Drona rămâne în acest interval timp de 7 − 3 = 4 minute.
- Verificare: 6 · 8 = 48, lungimea depășește lățimea cu 2, 26² = 6² + 8² + 24², iar f(8) = 24.
- Răspuns: baza are 6 m pe 8 m, volumul este 1 152 m³, diagonala observatorului este 26 m, drona ajunge la acoperiș după 8 minute și se află în intervalul sigur pentru t ∈ [3, 7], adică timp de 4 minute.
După comparație, cum arată rezolvarea ta?
Jurnalul de la finalul celor patru lumi
Nu primești o notă. Primești perspectiva de care ai nevoie.
Ai aflat ce este sigur și ce merită verificat înaintea următoarei expediții.
Stăpânești
✓
Calcul algebric și inecuații
Dezvolți și factorizezi fără să pierzi semne, apoi descrii corect mulțimea valorilor care respectă o limită.
Revino la observatorul soluțiilor → Stăpânești
✓
Funcții și grafice
Treci între formulă, puncte și dreaptă și interpretezi intersecțiile sau intervalele în contextul cerinței.
Revino la Observatorul funcțiilor → Stăpânești
✓
Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Numești ipotenuza și proiecțiile, apoi alegi relația care leagă exact segmentul necunoscut de datele problemei.
Revino în Constelația celor trei triunghiuri → Stăpânești
✓
Rapoarte trigonometrice
Fixezi unghiul ascuțit, numești cateta opusă și cateta alăturată, apoi alegi raportul care conține datele și necunoscuta.
Revino în Observatorul unghiurilor → Stăpânești
✓
Geometrie în spațiu
Recunoști corpul, separi diagonala bazei de diagonala spațială și alegi formula pentru lungime, arie sau volum.
Revino în Hangarul corpurilor → Rezolvarea completă
Clarifică exact legătura care încă îți acoperă imaginea.
Poți stăpâni fiecare noțiune și totuși să mai ai nevoie de o strategie mai clară, de justificări sau de o verificare mai bună când le folosești împreună. În Atelier lucrezi separat cu Mara, Lia, Luca și Radu.
Continuă în Atelierul rezolvării →