5·8 cinciopt

Ai ales o noțiune de pe hartă

Înapoi la harta claselor

Clasa a VIII-a · lumea cerului

Geometrie în spațiu

În hangarul aerian, fiecare corp începe ca un plan tehnic. Mai întâi așezi puncte, drepte și plane, apoi ridici muchii, fețe și suprafețe până când construcția capătă volum.

Scopul tău: să vezi ce elemente formează corpul, să alegi triunghiul dreptunghic ascuns și să folosești formula potrivită pentru lungime, arie sau volum.

Harta noțiunii

Hangarul corpurilor geometrice

Modulul de zbor este un buton; poți apăsa și textul

Jurnalul inginerului 0 din 10 module verificate

Poți deschide orice modul. Pasarelele arată doar o ordine utilă.

Planul tehnic este pregătit

Structura spațiului

Corpurile poliedrice

Corpurile rotunde

Structura este verificată. Hangarul se deschide.

Planșeta constructorului

Vezi planul. Construiești spațiul.

Reper, secțiune, verificare.

Pornești de la o față sau o secțiune pe care o cunoști, apoi ridici raționamentul în spațiu. Unitățile îți spun mereu ce ai calculat.

Citești corect desenul spațial și alegi formula potrivită mărimii cerute.

0 / 3 rezolvate

În cubul ABCDA′B′C′D′, care pereche este formată din drepte necoplanare?

Cubul ABCDA prim B prim C prim D prim Baza cubului este ABCD, iar fața de sus este A′B′C′D′. Muchiile AB și CC′ sunt evidențiate. A B C D A′ B′ C′ D′
Într-un desen în perspectivă, verifici fețele și punctele comune, nu distanța aparentă dintre linii.

Manualul hangarului · modulul 1 din 10

Reperele spațiului

În spațiu lucrezi cu puncte, drepte și plane. Punctul indică o poziție, dreapta fixează o direcție, iar planul este o suprafață întinsă fără margini. Notațiile arată precis ce element aparține altuia.

Formula sau notația de bord A ∈ d; d ⊂ α
Regula hangarului Un punct aparține unei drepte sau unui plan; o dreaptă este inclusă într-un plan.
  1. Identifici punctele, dreptele și planele din desen.
  2. Citești notația: A ∈ d înseamnă că punctul A aparține dreptei d.
  3. Scrii d ⊂ α când toate punctele dreptei d se află în planul α.

Încearcă tu

Care notație arată că punctul A aparține dreptei d?

Manualul hangarului · modulul 2 din 10

Poziții relative

În spațiu, două drepte pot avea un punct comun, pot fi paralele sau pot fi necoplanare. Dreptele necoplanare nu au punct comun și nu se află în același plan. O dreaptă poate fi și paralelă cu un plan.

Formula sau notația de bord d₁ ∥ d₂; d₁ ⟂ d₂
Regula hangarului Pentru a numi două drepte paralele, verifici că sunt coplanare și nu au niciun punct comun.
  1. Cauți dacă dreptele au un punct comun.
  2. Verifici dacă există un plan care le conține pe amândouă.
  3. Concluzionezi: concurente, paralele sau necoplanare.

Încearcă tu

Două drepte sunt coplanare și nu au niciun punct comun. Cum sunt ele?

Manualul hangarului · modulul 3 din 10

Perpendiculara și distanța

Dacă AO este perpendiculară pe planul α în punctul O, atunci segmentul AO reprezintă distanța de la A la plan. Orice segment oblic de la A la un punct al planului este mai lung decât perpendiculara.

Formula sau notația de bord AO ⟂ α ⇒ d(A, α) = AO
Regula hangarului Distanța de la un punct la un plan este lungimea segmentului perpendicular pe plan.
  1. Identifici piciorul perpendicularei pe plan.
  2. Recunoști un triunghi dreptunghic format din perpendiculară, proiecție și segmentul oblic.
  3. Aplici teorema lui Pitagora pentru lungimea necunoscută.

Încearcă tu

AO ⟂ α, O și B sunt în planul α, AB = 13 cm și OB = 5 cm. Cât este AO?

Manualul hangarului · modulul 4 din 10

Cubul

Cubul are 6 fețe pătrate, 12 muchii egale și 8 vârfuri. Diagonala unei fețe este a√2, iar diagonala cubului unește două vârfuri opuse care nu aparțin aceleiași fețe și are lungimea a√3.

Formula sau notația de bord Aₜ = 6a²; V = a³; d = a√3
Regula hangarului Diagonala feței folosește două dimensiuni; diagonala cubului folosește trei.
  1. Calculezi diagonala unei fețe: a√2.
  2. Formezi un triunghi dreptunghic cu diagonala feței și încă o muchie a.
  3. Aplici Pitagora: d² = (a√2)² + a² = 3a², deci d = a√3.

Încearcă tu

Un cub are muchia de 4 cm. Cât este diagonala cubului?

Manualul hangarului · modulul 5 din 10

Paralelipipedul dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic are fețe dreptunghiuri și trei dimensiuni: lungime L, lățime l și înălțime h. Diagonala corpului verifică toate cele trei direcții perpendiculare.

Formula sau notația de bord Aₜ = 2(Ll + Lh + lh); V = Llh
Regula hangarului d² = L² + l² + h², iar volumul este produsul celor trei dimensiuni.
  1. Calculezi diagonala bazei cu teorema lui Pitagora.
  2. Folosești diagonala bazei și înălțimea într-un al doilea triunghi dreptunghic.
  3. Simplifici relația la d = √(L² + l² + h²).

Încearcă tu

Un paralelipiped are dimensiunile 6 cm, 3 cm și 2 cm. Cât este diagonala lui?

Manualul hangarului · modulul 6 din 10

Prisma dreaptă

O prismă dreaptă are două baze congruente și paralele. Muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze și au lungimea înălțimii h. Desfășurarea laterală formează dreptunghiuri cu aria totală P_b · h.

Formula sau notația de bord Aₗ = P_b · h; V = A_b · h
Regula hangarului La prismă, volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea.
  1. Recunoști figura bazei și calculezi aria A_b și perimetrul P_b.
  2. Calculezi aria laterală Aₗ = P_b · h.
  3. Pentru aria totală adaugi cele două baze; pentru volum folosești V = A_b · h.

Încearcă tu

O prismă dreaptă are aria bazei 15 cm² și înălțimea 8 cm. Care este volumul?

Manualul hangarului · modulul 7 din 10

Piramida regulată

La o piramidă regulată, baza este un poligon regulat, iar vârful se proiectează în centrul bazei. Înălțimea h este perpendiculară pe bază. Apotema piramidei aₚ este înălțimea unei fețe laterale.

Formula sau notația de bord Aₗ = P_b · aₚ / 2; V = A_b · h / 3
Regula hangarului Piramida cu aceeași bază și aceeași înălțime ca o prismă are o treime din volumul prismei.
  1. Separi înălțimea h de apotema piramidei aₚ.
  2. Pentru aria laterală aduni triunghiurile: Aₗ = P_b · aₚ / 2.
  3. Pentru volum folosești V = A_b · h / 3.

Încearcă tu

O piramidă are aria bazei 36 cm² și înălțimea 4 cm. Care este volumul?

Manualul hangarului · modulul 8 din 10

Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept are două baze-disc congruente și paralele. Desfășurarea suprafeței laterale este un dreptunghi cu lungimea 2πr și lățimea h.

Formula sau notația de bord Aₗ = 2πrh; V = πr²h
Regula hangarului La cilindru, aria bazei este πr², iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea.
  1. Identifici raza r și înălțimea h.
  2. Folosești circumferința bazei 2πr pentru aria laterală.
  3. Adaugi cele două baze pentru aria totală sau înmulțești πr² cu h pentru volum.

Încearcă tu

Un cilindru are raza 3 cm și înălțimea 5 cm. Care este volumul?

Manualul hangarului · modulul 9 din 10

Conul circular drept

Conul circular drept are o bază-disc și un vârf proiectat în centrul bazei. Înălțimea h, raza r și generatoarea g formează un triunghi dreptunghic: g² = r² + h².

Formula sau notația de bord Aₗ = πrg; V = πr²h / 3
Regula hangarului Generatoarea intră în aria laterală; înălțimea intră în volum.
  1. Identifici separat raza r, înălțimea h și generatoarea g.
  2. Dacă lipsește o lungime, folosești g² = r² + h².
  3. Alegi formula: Aₗ = πrg sau V = πr²h / 3.

Încearcă tu

Un con are raza 3 cm și generatoarea 5 cm. Care este aria laterală?

Manualul hangarului · modulul 10 din 10

Sfera și planul complet

Sfera este suprafața formată din punctele aflate la aceeași distanță r de un centru. Bila este corpul care cuprinde și interiorul. La finalul unei probleme, alegi formula după mărimea cerută: lungime, arie sau volum.

Formula sau notația de bord A = 4πr²; V = 4πr³ / 3
Regula hangarului Aria se exprimă în unități pătrate; volumul se exprimă în unități cubice.
  1. Citești dacă se cere suprafața sferei sau volumul bilei.
  2. Identifici raza; dacă ai diametrul, folosești r = d / 2.
  3. Aplici formula, păstrezi π sau folosești aproximarea cerută și scrii unitatea corectă.

Încearcă tu

O sferă are raza 2 cm. Care este aria ei?