În stil de Subiectul I
Simplificarea radicalilor
Forma simplificată a numărului √200 este:
Clasa a VII-a · recapitulare mixtă
Expediția peșterii
În adâncime, răspunsurile nu mai stau la suprafață. Simplifici un radical, descoperi o necunoscută, compari triunghiuri și citești proprietatea unei figuri înainte ca traseul complet să devină vizibil.
Misiunea ta: să justifici fiecare trecere și să păstrezi forma exactă până când cerința îți cere o aproximare.
Subiectul I · 7 exerciții
Alegi instrumentul înainte să atingi peretele.
Uneori răspunsul corect rămâne exact, alteori este un număr sau o pereche. Forma cerută face parte din rezolvare.
În stil de Subiectul I
Cazul latură–unghi–latură
În triunghiurile ABC și DEF se știe că AB = DE, AC = DF și ∠A = ∠D. Criteriul care demonstrează congruența este:
În stil de Subiectul I
Ecuație cu paranteză
Soluția ecuației 4(x − 2) = 2x + 10 este:
În stil de Subiectul I
Raportul laturilor corespunzătoare
Două triunghiuri sunt asemenea, iar raportul dintre laturile triunghiului mic și cele ale triunghiului mare este 2/3. Unei laturi de 15 cm din triunghiul mare îi corespunde o latură de:
În stil de Subiectul I
Unghi înscris într-un semicerc
Într-un cerc, [AB] este diametru, iar C este un alt punct al cercului. Măsura unghiului ACB este:
În stil de Subiectul I
Teorema lui Thales
În triunghiul ABC, punctele D ∈ [AB] și E ∈ [AC] au proprietatea DE ∥ BC. Dacă AD/AB = 2/3 și BC = 12 cm, atunci DE este:
În stil de Subiectul I
Linia mijlocie a trapezului
Un trapez are bazele de 8 cm și 14 cm. Lungimea liniei mijlocii este:
Subiectul II · 5 exerciții
Nu te oprești la aparență. Cauți dovada.
Simplifică, înlocuiește sau compară ipotezele cu un criteriu. Justificarea scurtă valorează mai mult decât o presupunere bună.
01
Radicali asemenea
Egalitatea √18 + √8 = 5√2 este adevărată.
02
Verificarea soluției
Numărul x = 2 este soluția ecuației 3(x − 1) = 2x + 5.
03
Raportul ariilor
Dacă raportul de asemănare dintre două triunghiuri este 2, atunci raportul ariilor lor este tot 2.
04
Centrul cercului înscris
Dacă I este intersecția bisectoarelor unui triunghi ABC, atunci IA = IB = IC.
05
Unghiul trebuie să fie cel potrivit
Două laturi corespunzătoare egale și orice pereche de unghiuri egale demonstrează întotdeauna congruența a două triunghiuri.
Subiectul III · rezolvare completă
Galeria Cercului de Cristal
Dimensiunile descoperite prin sistem intră în desen, în radical și în cerc. Niciun rezultat intermediar nu rămâne izolat.
Sala principală a unei galerii subterane are forma dreptunghiului ABCD. Perimetrul ei este de 36 m, iar lungimea este cu 6 m mai mare decât lățimea. Planul galeriei este realizat la scara 1 : 200.
În centrul sălii se află o zonă circulară, tangentă la cele două laturi lungi ale dreptunghiului. Un cablu luminos urmează diagonala AC și apoi întregul contur al zonei circulare.
- Determină dimensiunile reale ale galeriei și dimensiunile ei pe plan.
- Calculează lungimea diagonalei AC în realitate și pe plan, păstrând rezultatele în formă exactă.
- Determină lungimea exactă a cablului și apoi o valoare aproximativă, folosind √5 ≈ 2,24 și π ≈ 3,14.
Am nevoie de un indiciu
Scrie un sistem pentru sumă și diferență. La scară, adu mai întâi metrii la centimetri. Diagonala folosește teorema lui Pitagora, iar diametrul cercului este egal cu lățimea galeriei.
Un drum complet posibil
- Notăm cu L lungimea galeriei și cu l lățimea ei. Din perimetru obținem 2(L + l) = 36, deci L + l = 18. A doua condiție este L − l = 6.
- Adunăm ecuațiile sistemului: 2L = 24, de unde L = 12 m. Apoi l = 18 − 12 = 6 m.
- Pe plan, scara 1 : 200 micșorează toate lungimile de 200 de ori. 12 m = 1 200 cm devin 6 cm, iar 6 m = 600 cm devin 3 cm.
- În dreptunghi, diagonala AC este ipotenuza unui triunghi dreptunghic: AC² = 12² + 6² = 144 + 36 = 180. Prin urmare, AC = √180 = 6√5 m.
- Pe plan, diagonala are lungimea 600√5 : 200 = 3√5 cm. Același rezultat se obține din √(6² + 3²) = √45 = 3√5 cm.
- Zona circulară este tangentă la cele două laturi lungi ale galeriei, așadar diametrul ei este egal cu lățimea de 6 m. Raza este r = 3 m, iar lungimea cercului este 2πr = 6π m.
- Cablul urmează diagonala și cercul, deci lungimea exactă este 6√5 + 6π metri.
- Folosind √5 ≈ 2,24 și π ≈ 3,14, obținem 6 · 2,24 + 6 · 3,14 = 13,44 + 18,84 = 32,28 m.
- Verificare: 2(12 + 6) = 36, diferența dimensiunilor este 6, raportul plan/real este 1/200, iar diametrul zonei circulare este exact lățimea galeriei.
- Răspuns: galeria are 12 m pe 6 m; pe plan are 6 cm pe 3 cm; diagonala măsoară 6√5 m în realitate și 3√5 cm pe plan; cablul are lungimea exactă 6√5 + 6π m, adică aproximativ 32,28 m.
După comparație, cum arată rezolvarea ta?
Jurnalul de la ieșirea din galerie
Nu primești o notă. Primești locul în care aprinzi lumina.
Ai aflat ce este sigur și ce merită verificat înaintea următoarei expediții.
Stăpânești
✓
Radicali și numere reale
Recunoști pătratele perfecte, simplifici radicalii și păstrezi forma exactă până când aproximarea este necesară.
Revino la filonul radicalilor → Stăpânești
✓
Ecuații și sisteme
Păstrezi egalitatea, alegi reducerea sau substituția și verifici soluția în toate condițiile inițiale.
Revino în Galeria echilibrului → Stăpânești
✓
Liniile importante din triunghi
Deosebești mediana, înălțimea, mediatoarea și bisectoarea, apoi legi fiecare centru de liniile care îl determină.
Revino în Camera celor patru urme → Stăpânești
✓
Congruența triunghiurilor
Păstrezi corespondența vârfurilor și verifici dacă relațiile date formează exact cazul L.L.L., L.U.L. sau U.L.U.
Revino în Sala triunghiurilor gemene → Stăpânești
✓
Asemănarea triunghiurilor
Justifici aceeași formă, alegi sensul raportului și deosebești schimbarea lungimilor de schimbarea ariilor.
Revino în Galeria aceleiași forme → Stăpânești
✓
Cercul în probleme
Urmărești arcul subîntins, deosebești coarda de diametru și verifici condițiile înainte să folosești o proprietate.
Revino în Rotonda cercului → Stăpânești
✓
Teorema lui Thales
Transformi paralelismul în rapoarte, alegi segmente corespunzătoare și folosești reciproca pentru a demonstra paralelismul.
Revino în Coridorul proporțiilor → Stăpânești
✓
Patrulatere în probleme
Recunoști proprietatea decisivă, folosești diagonalele și bazele corecte și verifici dacă figura îndeplinește toate condițiile.
Revino în Sala celor patru laturi → Rezolvarea completă
Luminează exact trecerea care nu este încă sigură.
Poți stăpâni fiecare noțiune și totuși să mai ai nevoie de o strategie mai clară, de justificări sau de o verificare mai bună când le folosești împreună. În Atelier lucrezi separat cu Mara, Lia, Luca și Radu.
Continuă direct în „Lanțul de dovezi” →