Bine de știut · Metodă explicată

Împărțirea prin simplificare

Micșorezi deîmpărțitul și împărțitorul cu același divizor până când câtul se vede mai ușor — fără să schimbi rezultatul.

Ideea matematică

Într-o împărțire, câtul nu se schimbă dacă împarți deîmpărțitul și împărțitorul la același număr nenul. Pentru $a : b$ , cu $b \ne 0$ , și pentru $c \ne 0$ ,

a : b = (a : c) : (b : c).

Când lucrezi cu numere naturale, alegi un divizor comun $c$ , astfel încât ambele împărțiri să fie exacte. Numerele devin mai mici, dar câtul rămâne același.

Aceeași împărțire, numere mai prietenoase

Pentru $840 : 35$ , numărul 5 este divizor comun. Împarți ambele numere la 5:

\begin{array}{ccccc} 840 & : & 35 & = & 24 \\ \downarrow :5 & & \downarrow :5 & & \Vert \\ 168 & : & 7 & = & 24 \end{array}

Calculul complet este

\begin{aligned} 840 : 35 &= (840 : 5) : (35 : 5) \\ &= 168 : 7 \\ &= 24. \end{aligned}

Ai schimbat forma împărțirii, nu valoarea ei. De aceea, scrii semnul egal între toate etapele.

De ce rămâne câtul același

Egalitatea $840 : 35 = 24$ înseamnă că

840 = 35 \cdot 24.

Dacă împarți primii doi termeni la 5, obții

168 = 7 \cdot 24.

Numărul grupelor, adică 24, nu s-a schimbat. Ai micșorat în aceeași măsură atât cantitatea totală, cât și mărimea unei grupe.

Aceeași idee apare și la fracții:

840 : 35 = \frac{840}{35} = \frac{168}{7} = 24.

De aceea, metoda pregătește simplificarea fracțiilor, rapoartele și proporțiile.

Cum găsești un divizor comun

Nu trebuie să găsești de la început cel mai mare divizor comun. Este suficient să observi un număr care divide exact atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul. Poți simplifica din nou dacă mai este nevoie.

Repere care îți arată drumul

Ambele numere sunt pare: încearcă împărțirea la 2.
Ambele se termină în 0 sau 5: verifică divizorul 5.
Ambele se termină în 0: încearcă 10, 100 sau 1 000.
Sumele cifrelor sunt divizibile cu 3 sau cu 9: verifică 3 sau 9.

Pentru $2\,160 : 45$ , ambele numere sunt divizibile cu 5:

2\,160 : 45 = 432 : 9 = 48.

Nu ai nevoie de cel mai mare divizor comun. Divizorul 5 te conduce deja la o împărțire simplă.

Două drumuri, același cât

Uneori ai mai multe alegeri bune. Pentru $1\,260 : 35$ , poți începe cu 5:

1\,260 : 35 = 252 : 7 = 36.

Poți începe și cu 7:

1\,260 : 35 = 180 : 5 = 36.

Ambele drumuri sunt corecte. Alegi divizorul comun pe care îl observi ușor și care produce o împărțire pe care o poți controla.

Cum alegi drumul bun

Privești împărțitorul și cauți un divizor ușor de recunoscut.
Verifici dacă același număr divide exact și deîmpărțitul.
Împarți ambele numere la divizorul ales.
Repeți simplificarea numai dacă noua împărțire poate deveni mai ușoară.
Calculezi câtul și îl verifici prin înmulțire.

Nu urmărești să faci cât mai multe simplificări. Urmărești să ajungi la o împărțire mai clară.

Trei niveluri ale aceleiași idei

La Pornire, recunoști divizorul comun 5 și urmărești transformarea.
La Legătură, compari două simplificări corecte ale aceleiași împărțiri.
În exercițiul În stil de examen, descoperi împărțirea într-o situație practică și alegi răspunsul corect.

Metoda rămâne aceeași. Se schimbă numai cât de mult din strategie trebuie să alegi singur.

Cum verifici

La împărțirea $2\,160 : 45$ , ai obținut câtul 48. Folosești relația clasică

\text{deîmpărțit} = \text{împărțitor} \cdot \text{cât} + \text{rest}.

Împărțirea este exactă, deci restul este 0:

\begin{aligned} 45 \cdot 48 &= 45 \cdot (50 - 2) \\ &= 2\,250 - 90 \\ &= 2\,160. \end{aligned}

Poți face și o estimare. Deoarece $2\,160$ este puțin mai mic decât $2\,250 = 45 \cdot 50$ , câtul trebuie să fie puțin mai mic decât 50. Valoarea 48 are mărimea așteptată.

Când NU merge

Metoda nu scurtează orice împărțire. Pentru $86 : 15$ , numerele nu au un divizor comun mai mare decât 1. În numere naturale, simplificarea nu oferă aici un drum mai bun.

Nu împarți un singur număr. De exemplu,

840 : 35 \ne (840 : 5) : 35.

Ca să păstrezi câtul, împarți și deîmpărțitul, și împărțitorul la același număr. De asemenea, nu înlocuiești împărțirea prin scăderea aceluiași număr:

840 : 35 \ne (840 - 5) : (35 - 5).

În sfârșit, nu împarți niciodată la 0. Divizorul folosit pentru simplificare și împărțitorul trebuie să fie numere nenule.

Exerciții

Pornire
Calculează $840 : 35$ prin simplificare.

Arată răspunsul

Ambele numere se împart exact la 5: $840 : 35 = (840 : 5) : (35 : 5) = 168 : 7 = 24$ . Verificare: $24 \cdot 35 = 840$ .
Legătură
Calculează $1\,260 : 35$ pe două drumuri, folosind mai întâi divizorul comun 5, apoi divizorul comun 7.

Arată răspunsul

Primul drum este $1\,260 : 35 = 252 : 7 = 36$ . Al doilea este $1\,260 : 35 = 180 : 5 = 36$ . Ambele simplificări păstrează același cât.
În stil de examen
Pentru un concurs, 2 160 de fișe sunt așezate în pachete de câte 45 de fișe. Numărul pachetelor este: a) 42; b) 48; c) 54; d) 480.

Arată răspunsul

Varianta corectă este b). Numărul pachetelor este $2\,160 : 45$ . Împarți ambele numere la 5: $2\,160 : 45 = 432 : 9 = 48$ . Verificare: $48 \cdot 45 = 2\,160$ .