Bine de știut · Metodă explicată

Împărțirea prin descompunerea deîmpărțitului

Descompui deîmpărțitul în multipli ușor de împărțit și aduni câturile, fără să schimbi împărțitorul.

Ideea matematică

În loc să împarți deîmpărțitul dintr-o singură mișcare, îl poți scrie ca o sumă de părți care se împart mai ușor la același împărțitor. Pentru $c \ne 0$,

În numere naturale, drumul este cu adevărat scurt când alegi părțile $a$ și $b$ astfel încât ambele să se împartă exact la $c$.

Un calcul mare, două împărțiri ușoare

La $936 : 18$, poți observa doi multipli folositori ai lui 18:

Cum $936=900+36$, obții

Nu ai schimbat împărțitorul. Ai separat deîmpărțitul în două cantități care formează, împreună, cantitatea inițială.

De ce funcționează

Egalitățile $900=18\cdot 50$ și $36=18\cdot 2$ arată că prima parte conține 50 de grupe de câte 18, iar a doua parte conține încă 2 grupe. Împreună sunt $50+2=52$ de grupe.

Aceeași explicație se vede prin proprietatea distributivă:

Citind egalitatea în sens invers, rezultă

De aceea, descompunerea nu este o regulă izolată. Este proprietatea distributivă folosită pentru a recunoaște câte grupe se află în fiecare parte.

Cum alegi o descompunere potrivită

Pornești de la împărțitor, nu de la o tăietură întâmplătoare a deîmpărțitului. Pentru $936:18$, relația $90:18=5$ îți arată imediat că $900:18=50$. Ce rămâne este 36, iar $36:18=2$.

O descompunere bună

• Reface exact deîmpărțitul: părțile trebuie să aibă suma potrivită.
• Păstrează împărțitorul: fiecare parte se împarte la același număr.
• Folosește multipli ușor de recunoscut: de pildă, 10, 20 sau 50 de grupe.
• Scurtează calculul: dacă părțile sunt mai greu de împărțit, alegi alt drum.

Mai multe descompuneri pot fi corecte

Pentru aceeași împărțire, poți scrie

de unde obții $50+2=52$. Dar este corect și

de unde obții $40+12=52$. Chiar și descompunerea

duce la $30+22=52$.

Toate cele trei drumuri păstrează numărul și folosesc multipli ai lui 18. Primul este, de obicei, mai ușor de urmărit: 900 și 36 trimit repede la 50 și 2. Nu cauți singura descompunere corectă, ci una pe care o vezi și o poți controla.

Poți folosi și o diferență

Uneori este mai simplu să pornești de la un multiplu puțin mai mare. De exemplu,

Este aceeași idee, deoarece împărțirea unei diferențe la un număr nenul se distribuie astfel:

Descompunere sau simplificare?

Cele două Trucuri pentru împărțire schimbă lucruri diferite:

• la împărțirea prin simplificare, împarți deîmpărțitul și împărțitorul la același divizor comun;
• aici păstrezi împărțitorul și descompui numai deîmpărțitul în părți potrivite.

De exemplu, pentru $840:35$, simplificarea dă

iar descompunerea dă

Ambele drumuri sunt corecte. Alegi drumul ale cărui numere îți oferă reperele cele mai clare.

Cum alegi drumul bun

1. Păstrezi împărțitorul în fața ochilor.
2. Cauți un multiplu mare și ușor al lui, apropiat de deîmpărțit.
3. Scrii restul descompunerii și verifici dacă se împarte ușor la același număr.
4. Împarți fiecare parte.
5. Aduni sau scazi câturile și verifici rezultatul.

Trei niveluri ale aceleiași idei

• La Pornire, primești descompunerea și urmărești distribuirea împărțirii.
• La Legătură, compari două descompuneri corecte și explici alegerea ta.
• În exercițiul În stil de examen, recunoști împărțirea într-un context și construiești singur părțile potrivite.

Ideea rămâne aceeași. Crește numai partea de drum pe care o alegi singur.

Greșeli frecvente

Prima greșeală este să nu refaci exact deîmpărțitul. Dacă scrii $936=900+30$, ai pierdut 6 unități înainte să începi împărțirea.

A doua este să împarți numai una dintre părți:

Fiecare parte a sumei se împarte la 18.

A treia este să descompui împărțitorul și să distribui ca și cum acesta ar fi deîmpărțitul. Împărțirea nu are această proprietate.

Cum verifici

Pentru $1\,248:24$, ai obținut 52. Înmulțirea reface exact descompunerea:

Estimarea spune același lucru. Deoarece $24\cdot 50=1\,200$, iar 1 248 este cu 48 mai mare, câtul trebuie să fie puțin mai mare decât 50. Rezultatul 52 are mărimea așteptată.

Când NU merge

Pentru orice împărțitor nenul, egalitatea distributivă rămâne corectă. Totuși, ea nu oferă mereu un calcul mai scurt. Descompunerea $936=901+35$ este corectă, dar nici $901:18$, nici $35:18$ nu este o împărțire exactă. Ai făcut calculul mai greu, nu mai ușor.

Nu distribui împărțirea peste o sumă aflată în împărțitor. De exemplu,

dar

Cele două rezultate nu sunt egale. Distribuirea funcționează aici numai când suma sau diferența este deîmpărțitul.

Dacă împărțirea are rest, descompunerea poate fi folosită numai dacă urmărești corect și resturile intermediare; nu mai este automat un drum rapid. Iar împărțirea la 0 nu este definită, deci împărțitorul trebuie să fie mereu nenul.