cinciopt

Bine de știut · Metodă explicată

Calculul prin rotunjire și compensare

Apropii un număr de 10, 100 sau 1 000, faci un calcul mai simplu, apoi compensezi exact schimbarea.

Ideea matematică

Uneori, un calcul devine mult mai simplu dacă înlocuiești temporar un număr cu unul apropiat și rotund: 10, 100, 1 000 sau alt multiplu al lor. După calcul, compensezi exact schimbarea făcută.

De exemplu, pentru o sumă,

a+b=(a+c)+b−c.a + b = (a + c) + b - c.

Ai adăugat cc ca să obții un număr mai prietenos, apoi ai scăzut același cc. Valoarea expresiei nu s-a schimbat.

Atenție: aici rotunjirea este doar o etapă de calcul. Nu aproximăm rezultatul; la final obținem valoarea exactă.

Drumul până la numărul rotund și înapoi

În suma 398+267398 + 267, numărul 398 este la doar 2 unități de 400. Drumul scurt este

398+267=400+267−2=665.398 + 267 = 400 + 267 - 2 = 665.

Poți citi transformarea astfel:

  1. ai adăugat 2 ca să ajungi de la 398 la 400;
  2. ai făcut adunarea ușoară 400+267400 + 267;
  3. ai scăzut 2 ca să repari exact schimbarea.

Compensarea este tocmai această „întoarcere” controlată.

La scădere, păstrezi aceeași diferență

O diferență nu se schimbă dacă micșorezi ambele numere cu aceeași valoare:

a−b=(a−c)−(b−c).a - b = (a - c) - (b - c).

De aceea,

1 003−487=1 000−484=516.1\,003 - 487 = 1\,000 - 484 = 516.

Ai scăzut 3 din ambele numere. Distanța dintre ele a rămas aceeași, dar primul număr a devenit rotund.

La înmulțire, folosești distributivitatea

Numărul 49 este foarte aproape de 50. Îl poți scrie ca 50−150 - 1, apoi distribui înmulțirea:

49⋅36=(50−1)⋅36=50⋅36−1⋅36=1 764.\begin{aligned} 49 \cdot 36 &= (50 - 1) \cdot 36 \\ &= 50 \cdot 36 - 1 \cdot 36 \\ &= 1\,764. \end{aligned}

Cu numere mari, câștigul se vede și mai bine:

9 997⋅48=(10 000−3)⋅48=480 000−144=479 856.\begin{aligned} 9\,997 \cdot 48 &= (10\,000 - 3) \cdot 48 \\ &= 480\,000 - 144 \\ &= 479\,856. \end{aligned}

Nu ai evitat matematica. Ai folosit proprietatea distributivă ca să alegi o formă mai convenabilă a aceluiași calcul.

Cum alegi numărul rotund potrivit

  1. Cauți un număr aflat foarte aproape de 10, 100, 1 000 sau de un multiplu al lor.
  2. Verifici dacă schimbarea este mică și ușor de compensat.
  3. Scrii egalitatea completă, inclusiv compensarea, înainte să calculezi.
  4. Alegi metoda numai dacă noul calcul este într-adevăr mai simplu.

Cu cât numărul rotund este mai apropiat, cu atât compensarea cere de obicei mai puțin efort.

Trei niveluri ale aceleiași idei

Nu se schimbă ideea. Se schimbă numai cât de mult din drum construiești singur.

Cum verifici

Pentru 998⋅24998 \cdot 24, numărul 998 este puțin mai mic decât 1 000. Prin urmare, rezultatul trebuie să fie puțin mai mic decât 1 000⋅24=24 0001\,000 \cdot 24 = 24\,000.

Compensarea scade exact 2⋅24=482 \cdot 24 = 48, deci obții 24 000−48=23 95224\,000 - 48 = 23\,952. Mărimea rezultatului și sensul schimbării se potrivesc: ai pornit de la un număr mai mic decât 1 000, deci nu puteai obține mai mult de 24 000.

Când NU merge

Egalitățile sunt corecte, dar metoda nu scurtează orice calcul. Pentru 463+278463 + 278, înlocuirea lui 463 cu 500 cere o compensare de 37; este posibil ca algoritmul obișnuit să fie mai simplu.

Nu uiți niciodată compensarea:

398+267≠400+267.398 + 267 \ne 400 + 267.

La înmulțire, compensezi întregul produs care lipsește, nu doar diferența dintre numere:

49⋅36=50⋅36−1⋅36,49 \cdot 36 = 50 \cdot 36 - 1 \cdot 36,

nu 50⋅36−150 \cdot 36 - 1. Iar la scădere, dacă vrei să păstrezi diferența, modifici ambele numere cu aceeași valoare:

1 003−487=1 000−484,1\,003 - 487 = 1\,000 - 484,

nu 1 000−4871\,000 - 487.

Exerciții

  1. Pornire

    Calculează 398+267398 + 267 prin rotunjire și compensare.

    Arată răspunsul

    Îl apropii pe 398 de 400, adăugând 2. Ca să păstrezi suma, scazi apoi același 2: 398+267=400+267−2=665398 + 267 = 400 + 267 - 2 = 665.

  2. Legătură

    Calculează 49⋅3649 \cdot 36 alegând numărul rotund potrivit.

    Arată răspunsul

    Scrii 49=50−149 = 50 - 1 și folosești distributivitatea. Mai întâi, 49⋅36=(50−1)⋅3649 \cdot 36 = (50 - 1) \cdot 36, apoi 50⋅36−36=1 76450 \cdot 36 - 36 = 1\,764.

  3. În stil de examen

    O tipografie pregătește 998 de seturi cu câte 24 de fișe. Numărul total de fișe este: a) 23 952; b) 23 980; c) 24 002; d) 24 048.

    Arată răspunsul

    Varianta corectă este a). Scrii 998=1 000−2998 = 1\,000 - 2. Astfel, 998⋅24=1 000⋅24−2⋅24998 \cdot 24 = 1\,000 \cdot 24 - 2 \cdot 24, iar 24 000−48=23 95224\,000 - 48 = 23\,952 de fișe.