Spațiul rezultatelor
Lista completă a rezultatelor elementare posibile.
Expediție între lumi · probabilitate
Laboratorul întâmplării
Întâmplarea nu poate fi prezisă probă cu probă. Totuși, îi poți descrie posibilitățile, îi poți măsura șansele și poți verifica dacă un joc este cu adevărat echitabil.
Scopul tău: să construiești toate cazurile posibile, să le numeri fără omisiuni și să deosebești probabilitatea teoretică de ceea ce s-a întâmplat într-un experiment.
Înainte de prima probă
Trei idei care nu trebuie amestecate
Probabilitatea teoretică
Când cazurile sunt egal posibile: P(A) = cazuri favorabile / cazuri posibile.
Frecvența relativă
Numărul aparițiilor evenimentului împărțit la numărul probelor efectuate.
01 · Experimentul
Înainte să apeși, fă o predicție.
Butoanele pornesc probe independente. Rezultatele se adună în carnet; nu primești puncte și nu există un rezultat „bun” al experimentului.
probe0
favorabile0
frecvență relativă—
observată —
teoretică 50%
Primele rezultate vor apărea aici.
Frecvența relativă se calculează după prima probă.
02 · Masa celor 36 de rezultate
O sumă nu este un singur caz.
Cele două zaruri se deosebesc prin culoare, deci perechea (2, 5) este diferită de perechea (5, 2). Așa obții 6 · 6 = 36 de rezultate elementare egal posibile.
| Z₁ \ Z₂ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 |
| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 | 4,5 | 4,6 |
| 5 | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 |
| 6 | 6,1 | 6,2 | 6,3 | 6,4 | 6,5 | 6,6 |
6 cazuri favorabile din 36
P(suma = 7) 6/36 = 1/6
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
5 8
4 9
3 10
2 11
1 12
03 · Atelierul jocurilor echitabile
Regulile sună egal. Șansele sunt egale?
Pentru fiecare joc, hotărăște înainte să deschizi explicația. Nu contează cine „pare” să aibă regula mai simplă, ci câte rezultate favorabile primește fiecare.
Jocuri cercetate0 din 4
Cap sau stemă
Mara câștigă la cap, iar Luca la stemă. Moneda este echilibrată.
1/2 pentru Mara · 1/2 pentru LucaAlege după ce numeri cazurile.
Două fețe contra patru
La un zar obișnuit, Lia câștigă la 1 sau 2, iar Radu la 3, 4, 5 sau 6.
2/6 pentru Lia · 4/6 pentru RaduAlege după ce numeri cazurile.
În jurul sumei 7
Cu două zaruri, Mara câștigă dacă suma este mai mică decât 7, Luca dacă este mai mare decât 7, iar la suma 7 se repetă aruncarea.
15/36 pentru Mara · 15/36 pentru Luca · 6/36 repetareAlege după ce numeri cazurile.
Discul cu opt sectoare
Un disc are opt sectoare egale: trei portocalii și cinci albastre. Ana alege portocaliu, iar Dinu albastru.
3/8 pentru Ana · 5/8 pentru DinuAlege după ce numeri cazurile.
Masa de proiectare
Repară regula zarului
Mara câștigă la 1 sau 2, iar Luca la 3, 4, 5 sau 6. Care modificare face jocul echitabil, fără remiză?
Alege o regulă în care fiecare primește rezultate distincte și la fel de numeroase.
04 · Antrenament progresiv
Descrii. Numeri. Compari. Justifici.
0 din 10 repere verificate
La aruncarea unui zar obișnuit, probabilitatea de a obține numărul 8 este:
Alege când ești pregătit.
Dintr-o cutie care conține numai bile roșii, extragi o bilă. Probabilitatea ca ea să fie roșie este:
Alege când ești pregătit.
Arunci un zar obișnuit. Probabilitatea de a obține un număr prim este:
Alege când ești pregătit.
Într-o cutie sunt 5 bile roșii, 3 albastre și 2 verzi. Probabilitatea ca bila extrasă să nu fie verde este:
Alege când ești pregătit.
În 50 de aruncări ale unei monede, a apărut cap de 27 de ori. Frecvența relativă a rezultatului cap este:
Alege când ești pregătit.
Arunci de două ori o monedă. Numărul rezultatelor ordonate posibile este:
Alege când ești pregătit.
La două aruncări ale unei monede, probabilitatea de a obține exact o dată cap este:
Alege când ești pregătit.
Arunci două zaruri obișnuite. Probabilitatea ca suma să fie 8 este:
Alege când ești pregătit.
La două zaruri, care sumă este mai probabilă?
Alege când ești pregătit.
Cu două zaruri, Mara câștigă la o sumă sub 7, Luca la o sumă peste 7, iar la 7 se repetă. Jocul este:
Alege când ești pregătit.
Problemă mixtă · în stil de examen
Două porți la aceeași masă
Se aruncă două zaruri obișnuite, unul albastru și unul portocaliu. Mara câștigă dacă suma este cel mult 4, Luca dacă suma este cel puțin 10, iar pentru celelalte sume aruncarea se repetă.
- Scrie perechile favorabile Marei și calculează probabilitatea ca ea să câștige la o aruncare.
- Scrie perechile favorabile lui Luca și compară cele două probabilități.
- În 120 de aruncări, Mara a câștigat de 18 ori. Calculează frecvența relativă și explică de ce ea poate fi diferită de probabilitatea teoretică.
Compară cu o rezolvare completă
- Pentru suma cel mult 4: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1). Sunt 6 cazuri.
- P(Mara) = 6/36 = 1/6.
- Pentru suma cel puțin 10: (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6). Sunt tot 6 cazuri.
- P(Luca) = 6/36 = 1/6. Jocul este echitabil; celelalte 24 de cazuri duc la repetare.
- Frecvența relativă observată pentru Mara este 18/120 = 3/20 = 0,15 = 15%.
- Probabilitatea teoretică este 1/6 ≈ 0,167. Frecvența descrie cele 120 de probe efectuate și nu trebuie să fie exact egală cu probabilitatea.
Unde continui?
Întâmplarea rămâne legată de restul hărții.
Poți reveni la date, poți exersa numărarea completă a cazurilor sau poți folosi probabilitatea într-o problemă cu idei din mai multe lumi.