Bine de știut · Metodă explicată

Dublarea și înjumătățirea

Păstrezi produsul, dar schimbi factorii până când calculul devine mai ușor — și poți explica exact de ce.

Ideea matematică

Într-un produs, poți dubla un factor și înjumătăți celălalt fără să schimbi rezultatul. Pentru orice numere reale $a$ și $b$ ,

a \cdot b = (2a) \cdot \frac{b}{2}.

Egalitatea nu este o magie. Factorul 2 introdus lângă $a$ se simplifică prin împărțirea lui $b$ la 2:

(2a) \cdot \frac{b}{2} = a \cdot b.

Lucrezi cu aceeași cantitate, doar că o grupezi altfel.

Aceeași cantitate, alte grupuri

Imaginează-ți 4 rânduri cu câte 12 obiecte. Dacă dublezi numărul rândurilor, dar înjumătățești numărul obiectelor dintr-un rând, totalul rămâne același:

4 \cdot 12 = 8 \cdot 6 = 48.

Aceasta este proprietatea pe care o folosești în orice calcul de pe pagină.

Cum alegi drumul bun

Cauți un factor par, pe care îl poți înjumătăți fără să obții zecimale.
Verifici dacă dublarea celuilalt factor produce un număr mai prietenos, cum ar fi 10, 20, 50 sau 100.
Poți repeta transformarea, dar te oprești imediat ce noul produs este ușor de calculat.

De exemplu,

16 \cdot 25 = 8 \cdot 50 = 4 \cdot 100 = 400.

Ai înjumătățit mereu factorul par și ai dublat celălalt factor. Produsul a rămas neschimbat la fiecare trecere.

Trei niveluri ale aceleiași idei

La Pornire, ți se spune ce metodă să folosești și urmărești transformarea.
La Legătură, alegi singur factorul care merită înjumătățit.
În exercițiul În stil de examen, recunoști produsul într-un context și alegi varianta corectă fără să pierzi sensul rezultatului.

Metoda rămâne aceeași. Se schimbă numai cât de mult trebuie să descoperi singur.

Cum verifici

Pentru $35 \cdot 24$ , metoda dă $840$ . Poți verifica în două feluri:

prin algoritmul obișnuit al înmulțirii;
prin estimare: $35 \cdot 24$ este puțin mai mic decât $35 \cdot 25 = 875$ , deci rezultatul 840 este plauzibil.

O metodă rapidă este bună numai dacă îți lasă și un drum clar de verificare.

Când NU merge

Egalitatea este corectă, dar transformarea nu face orice calcul mai ușor. La $13 \cdot 17$ , înjumătățirea produce un număr zecimal, iar noul calcul este mai greu decât cel inițial. În această situație alegi altă metodă sau algoritmul obișnuit.

Nu modifici un singur factor. De exemplu,

18 \cdot 25 = 9 \cdot 50,

nu $9 \cdot 25$ . Și nu aplici regula unei adunări: dublarea și înjumătățirea păstrează un produs, nu o sumă.

Exerciții

Pornire
Calculează $16 \cdot 25$ prin dublare și înjumătățire.

Arată răspunsul

Înjumătățești 16 și dublezi 25 de două ori: $16 \cdot 25 = 8 \cdot 50 = 4 \cdot 100 = 400$ .
Legătură
Calculează $35 \cdot 24$ alegând factorul pe care îl înjumătățești.

Arată răspunsul

Înjumătățești factorul par și îl dublezi pe celălalt: $35 \cdot 24 = 70 \cdot 12$ , apoi $70 \cdot 12 = 140 \cdot 6$ , iar $140 \cdot 6 = 280 \cdot 3 = 840$ .
În stil de examen
O sală are 24 de rânduri cu câte 35 de locuri. Numărul total de locuri este: a) 420; b) 700; c) 840; d) 1 180.

Arată răspunsul

Varianta corectă este c). Folosești aceeași transformare: $35 \cdot 24 = 70 \cdot 12$ , apoi $70 \cdot 12 = 140 \cdot 6$ , iar $140 \cdot 6 = 280 \cdot 3 = 840$ de locuri.